Sejam F1=1, F2=1 e Fn=Fn-1+Fn-2, tal que n >= 3 ( Fn é chamado o n-ésimo número de Fibonacci). Mostre que:
F1+F2+F3+cdots+Fn=Fn+2-1

Passo 1

O enunciado define a sequência de Fibonacci por
F1=1, F2=1, Fn=Fn-1+Fn-2(n>=3)
e pede para mostrar que
sumk=1^nFk=Fn+2-1
Vamos usar o princípio de indução matemática para provar essa fórmula.

Passo 2

Base da indução: n=1.
À esquerda temos
sumk=1^1Fk=F1=1,
e à direita
F1+2-1=F3-1
Como F3=F2+F1=1+1=2, segue que
F3-1=2-1=1
Logo a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum n>=1 valha
sumk=1^nFk=Fn+2-1

Passo 4

Passo de indução: queremos mostrar que
sumk=1^n+1Fk=Fn+3-1
Observe que
sumk=1^n+1Fk =l(sumk=1^nFkr)+Fn+1
e, pela hipótese de indução,
sumk=1^nFk=Fn+2-1
Então
sumk=1^n+1Fk =(Fn+2-1)+Fn+1 =Fn+2+Fn+1-1
Mas pela definição de Fibonacci
Fn+3=Fn+2+Fn+1,
logo
sumk=1^n+1Fk=Fn+3-1

Passo 5

Concluímos por indução que a fórmula
sumk=1^nFk=Fn+2-1
é verdadeira para todo n>=1.

Resposta

F1+F2+cdots+Fn=Fn+2-1

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