Sejam
. Prove que, para quaisquer
, as igualdades abaixo são verdadeiras:
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dados
e inteiros não-negativos
, vale sempre
O conteúdo que vamos usar é a definição de potenciação para expoentes em
e o princípio de indução finita.
Passo 2
Definimos potenciação em
para expoentes não-negativos por
Mostramos o caso base
:
por definição de qualquer número elevado a zero, e
Logo
Passo 3
Suponha agora que para algum
já seja verdade
Essa é a nossa hipótese de indução.
Passo 4
Precisamos provar que então
Pela definição de potência,
Aplicando a hipótese de indução ao primeiro fator,
Isso encerra o passo indutivo.
Passo 5
Pelo princípio da indução finita em
, concluímos que
vale para todo
.
Resposta
Para quaisquer inteiros
e quaisquer
, tem-se