Sejam a, b in Z. Prove que, para quaisquer m, n >= 0, as igualdades abaixo são verdadeiras:
(a^m)^n=a^m cdot n

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dados ainZ e inteiros não-negativos m,n, vale sempre
l(a^mr)^n = a^mcdot n
O conteúdo que vamos usar é a definição de potenciação para expoentes em N e o princípio de indução finita.

Passo 2

Definimos potenciação em Z para expoentes não-negativos por
a^0=1, a^k+1=a^kcdot a
Mostramos o caso base n=0:
l(a^mr)^0=1
por definição de qualquer número elevado a zero, e
a^mcdot 0=a^0=1
Logo
l(a^mr)^0=a^mcdot 0

Passo 3

Suponha agora que para algum n>=0 já seja verdade
l(a^mr)^n=a^mcdot n
Essa é a nossa hipótese de indução.

Passo 4

Precisamos provar que então
l(a^mr)^n+1=a^mcdot(n+1)
Pela definição de potência,
l(a^mr)^n+1 =l(a^mr)^ncdot a^m
Aplicando a hipótese de indução ao primeiro fator,
l(a^mr)^n+1 = a^mcdot ncdot a^m = a^mcdot n + m = a^m,(n+1)
Isso encerra o passo indutivo.

Passo 5

Pelo princípio da indução finita em n, concluímos que
l(a^mr)^n=a^mcdot n
vale para todo n>=0.

Resposta

Para quaisquer inteiros a e quaisquer m,n>=0, tem-se
l(a^mr)^n=a^mcdot n

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