Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, provando as verdadeiras e dando um contraexemplo para as falsas.
(m n)!=m!n!, para quaisquer m, n >= 1

Passo 1

O enunciado pergunta se vale a igualdade
(mn)! ;=; m!,n!
para quaisquer inteiros m,n>=1. Vamos usar a definição de fatorial e testar casos pequenos para ver se a fórmula se mantém.

Passo 2

Lembremos que, para todo inteiro k>=1,
k! ;=; ktimes (k-1)times (k-2)times cdotstimes2times1
Portanto, em geral k! cresce muito mais rápido do que um produto simples de dois fatoriais menores.

Passo 3

Para ver se a identidade pode falhar, escolhemos valores simples, por exemplo m=2 e n=3.
Então mn=2cdot3=6.

Passo 4

Calculamos separadamente:
(mn)! ;=; 6! ;=; 6times5times4times3times2times1 ;=;720,
enquanto
m!,n! ;=; 2!times3! ;=;(2times1)times(3times2times1);=;2times6;=;12

Passo 5

Como 720neq12, a igualdade não se verifica para m=2 e n=3. Logo a afirmação é falsa. Além desse, qualquer par com m,n>=2 também dá contraexemplo.

Resposta

A afirmação é falsa. Contraexemplo: para m=2, n=3 temos
6! = 720 neq 2!,3! = 12

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