Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, provando as verdadeiras e dando um contraexemplo para as falsas.
, para quaisquer
Passo 1
O enunciado pergunta se vale a igualdade
para quaisquer inteiros
. Vamos usar a definição de fatorial e testar casos pequenos para ver se a fórmula se mantém.
Passo 2
Lembremos que, para todo inteiro
,
Portanto, em geral
cresce muito mais rápido do que um produto simples de dois fatoriais menores.
Passo 3
Para ver se a identidade pode falhar, escolhemos valores simples, por exemplo
e
.
Então .
Então
Passo 4
Calculamos separadamente:
enquanto
Passo 5
Como
, a igualdade não se verifica para
e
. Logo a afirmação é falsa. Além desse, qualquer par com
também dá contraexemplo.
Resposta
A afirmação é falsa. Contraexemplo: para
,
temos