Sejam a, b in Z quaisquer e c, n in N backslash0. Mostre que se
a equiv b(bmod n) e c mid n,
então a equiv b(bmod c).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois números inteiros a e b, e dois números naturais c e n, onde c divide n (escrito como c mid n). Sabemos que a é congruente a b módulo n (isto é, a equiv b pmodn). Precisamos mostrar que, com essas condições, também a equiv b pmodc. Para resolver isso, vamos usar conceitos de congruência e divisibilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equiv b pmodn. Isso quer dizer que a diferença entre a e b é divisível por n, ou seja:
n mid (a - b)
Em outras palavras, existe um número inteiro k tal que:
a - b = k cdot n

Passo 3

Agora, sabemos que c divide n, ou seja, c mid n. Isso significa que n é múltiplo de c, então podemos escrever n como:
n = m cdot c
onde m é algum número inteiro.

Passo 4

Substituindo n na equação a - b = k cdot n, temos:
a - b = k cdot (m cdot c) = (k cdot m) cdot c
Isso mostra que a diferença a - b também é múltiplo de c, ou seja:
c mid (a - b)

Passo 5

Como c divide a - b, podemos concluir que a é congruente a b módulo c:
a equiv b pmodc

Resposta

a equiv b pmodc

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