nabla^2 phi=rhovarepsilon0
onde varepsilon0 é a constante dielétrica no vácuo, rho é a densidade de carga elétrica, e phi é o potencial eletrostático. Uma vez conhecido phi podemos calcular o campo elétrico (E=-nabla phi) e consequentemente caracterizar completamente o sistema eletrostático. Se estamos interessados em determinar phi em uma região do espaço onde não há carga elétrica a equação de Poisson se reduz a equação de Laplace
nabla^2 phi=0
O objetivo deste exercício é estudar o potencial eletrostático no plano gerado por um fio circular de raio a. Vamos supor que a metade superior do fio possui uma tensão constante de 10 V sendo ela isolada da metade inferior do fio mantida a uma tensão de -10 V . Assim, a condição de fronteira para este problema
phi(a, theta)=rlc 10, & se & 0
Como a condição de fronteira apresenta simetria radial é necessário escrever e resolver a equação de Laplace em coordenadas polares obtendo assim phi(r, theta).
(a) Em coordenadas cartesianas a equação de Laplace no plano tem a seguinte forma,
partial^2 phipartial x^2+partial^2 phipartial y^2=0
Mostre que em coordenadas polares
& x=r cos theta & y=r sin theta
a EDP (2) é reescrita como:
partial^2 phipartial r^2+1r partial phipartial r+1r^2 partial^2 phipartial theta^2=0
(b) Utilizando o método de separação de variáveis phi(r, theta)=R(r) Theta(theta) mostre que a equação acima resulta no seguinte conjunto de equações diferenciais ordinárias,
r^2 partial^2 Rpartial r^2+r partial Rpartial r-lambda R & =0 partial^2 Thetapartial theta^2+lambda Theta & =0
onde lambda é a constante de separação.
© Este problema de valor de contorno não é um problema homogêneo, porém phi deve ser periódica de período 2 pi. Isto faz com que Theta(theta)=Theta(theta+2 pi). Mostre que esta condição de periodicidade faz com
lambda=n^2 com n=0,1,2, ldots
Sugestão: analise a solução de (4b) para lambda positivo, negativo e zero e imponha a condição Theta(theta)= Theta(theta+2 pi) para cada um dos casos.
(d) Baseado nos resultados anteriores, mostre que a solução geral de (3) pode ser escrita como
phi(r, theta)=c0+b0 ln r+sumn=1^infty(cn r^n+bn r^-n)(kn cos (n theta)+qn sin (n theta))
(e) Determine o potencial eletrostático em uma região exterior ao fio circular (r>a). Sugestão: imponha que
lim r infty phi(r, theta)
isto eliminará parte das constantes em (5). Em seguida, determine o restante dos coeficientes através da condição de fronteira (1). O procedimento é análogo (mas não idêntico) ao apresentado na seção 10.8 do livro texto Boyce e DiPrima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata do potencial eletrostático gerado por um fio circular com certas condições de tensão. A matéria que estamos vendo aqui envolve a equação de Laplace em coordenadas polares, método de separação de variáveis e condições de contorno para encontrar o potencial eletrostático phi(r, theta). Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais, entender a transformação para coordenadas polares e aplicar a separação de variáveis.

Passo 2

Parte (a): Converter a equação de Laplace de coordenadas cartesianas para polares
Primeiro, vamos mostrar que a equação de Laplace em coordenadas cartesianas:
partial^2 phipartial x^2 + partial^2 phipartial y^2 = 0
pode ser reescrita em coordenadas polares usando as relações x = r cos theta e y = r sin theta. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de phi em termos de r e theta.
Quando mudamos para coordenadas polares, usamos a regra da cadeia para derivadas. Aplicando isso, encontramos que:
partial^2 phipartial x^2 + partial^2 phipartial y^2 = partial^2 phipartial r^2 + 1r partial phipartial r + 1r^2 partial^2 phipartial theta^2
Portanto, a equação de Laplace em coordenadas polares fica:
partial^2 phipartial r^2 + 1r partial phipartial r + 1r^2 partial^2 phipartial theta^2 = 0

Passo 3

Parte (b): Aplicar o método de separação de variáveis
Agora, vamos usar o método de separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de funções que dependem apenas de r e de theta:
phi(r, theta) = R(r) Theta(theta)
Substituindo isso na equação de Laplace em polares:
R''(r) Theta(theta) + 1r R'(r) Theta(theta) + 1r^2 R(r) Theta''(theta) = 0
Dividindo ambos os lados por R(r) Theta(theta):
R''(r)R(r) + 1r R'(r)R(r) + 1r^2 Theta''(theta)Theta(theta) = 0
Como o lado esquerdo depende apenas de r e o direito apenas de theta, cada parte deve ser igual a uma constante, que chamaremos de -lambda. Assim, temos:
Para R(r):
r^2 R''(r) + r R'(r) - lambda R(r) = 0
E para Theta(theta):
Theta''(theta) + lambda Theta(theta) = 0

Passo 4

Parte ©: Determinar os valores de lambda usando a periodicidade
Queremos que a solução seja periódica, ou seja, Theta(theta) = Theta(theta + 2pi). Vamos analisar a equação para Theta:
Theta''(theta) + lambda Theta(theta) = 0
A solução geral depende do sinal de lambda:
  1. lambda > 0: As soluções são combinações de senos e cossenos, que são naturalmente periódicas.
  2. lambda = 0: A solução seria linear, o que não é periódica a menos que seja constante.
  3. lambda < 0: As soluções são exponenciais, que não são periódicas.
Portanto, para que Theta(theta) seja periódica, precisamos que lambda = n^2, onde n é um número inteiro 0, 1, 2, ldots

Passo 5

Parte (d): Escrever a solução geral da equação de Laplace
Com lambda = n^2, as equações para R(r) e Theta(theta) tornam-se:
r^2 R''(r) + r R'(r) - n^2 R(r) = 0
e
Theta''(theta) + n^2 Theta(theta) = 0
As soluções dessas equações são:
  • Para R(r):
R(r) = cn r^n + bn r^-n
  • Para Theta(theta):
Theta(theta) = kn cos(ntheta) + qn sin(ntheta)
Portanto, a solução geral para phi(r, theta) é uma soma de termos para cada n:
phi(r, theta) = c0 + b0 ln r + sumn=1^infty ( cn r^n + bn r^-n ) ( kn cos(ntheta) + qn sin(ntheta) )

Passo 6

Parte (e): Determinar o potencial eletrostático na região externa ao fio circular (r > a)
Queremos encontrar phi(r, theta) para r > a usando a condição de que o potencial deve permanecer finito quando r infty. Observando a solução geral:
phi(r, theta) = c0 + b0 ln r + sumn=1^infty ( cn r^n + bn r^-n ) ( kn cos(ntheta) + qn sin(ntheta) )
Se r infty, termos como r^n e ln r vão ao infinito. Para que phi(r, theta) permaneça finito, devemos eliminar esses termos. Isso significa que devemos definir c0 = 0, b0 = 0, e cn = 0 para todos n >= 1.
Assim, a solução simplificada fica:
phi(r, theta) = sumn=1^infty bn r^-n ( kn cos(ntheta) + qn sin(ntheta) )
Agora, aplicamos a condição de fronteira dada:
phi(a, theta) = rlc 10, & se 0 < theta <= pi 0, & se theta = 0 -10, & se -pi <= theta < 0
Expandindo a série de Fourier para representar essa condição, obtemos os coeficientes bn, kn e qn. Devido à simetria do problema, apenas os termos de cosseno são necessários (pois a condição é par em theta). Portanto, a solução final para r > a é:
phi(r, theta) = sumn=1^infty bnr^n cos(ntheta)
Onde os coeficientes bn são determinados a partir da série de Fourier da condição de fronteira.

Resposta

Concluímos que o potencial eletrostático na região externa ao fio circular (r > a) é dado por:
phi(r, theta) = sumn=1^infty bnr^n cos(ntheta)
onde os coeficientes bn são calculados a partir da expansão em série de Fourier da condição de fronteira especificada.

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