onde é a constante dielétrica no vácuo, é a densidade de carga elétrica, e é o potencial eletrostático. Uma vez conhecido podemos calcular o campo elétrico e consequentemente caracterizar completamente o sistema eletrostático. Se estamos interessados em determinar em uma região do espaço onde não há carga elétrica a equação de Poisson se reduz a equação de Laplace
O objetivo deste exercício é estudar o potencial eletrostático no plano gerado por um fio circular de raio . Vamos supor que a metade superior do fio possui uma tensão constante de 10 V sendo ela isolada da metade inferior do fio mantida a uma tensão de -10 V . Assim, a condição de fronteira para este problema
Como a condição de fronteira apresenta simetria radial é necessário escrever e resolver a equação de Laplace em coordenadas polares obtendo assim phi(r, theta).
(a) Em coordenadas cartesianas a equação de Laplace no plano tem a seguinte forma,
(b) Utilizando o método de separação de variáveis phi(r, theta)=R(r) Theta(theta) mostre que a equação acima resulta no seguinte conjunto de equações diferenciais ordinárias,
Sugestão: analise a solução de (4b) para lambda positivo, negativo e zero e imponha a condição Theta(theta)=Theta(theta+2 pi) para cada um dos casos.
(d) Baseado nos resultados anteriores, mostre que a solução geral de (3) pode ser escrita como
phi(r, theta)=c0+b0 ln r+sumn=1^infty(cn r^n+bn r^-n)(kn cos (n theta)+qn sin (n theta))
(e) Determine o potencial eletrostático em uma região exterior ao fio circular (r>a). Sugestão: imponha que
lim r infty phi(r, theta)
isto eliminará parte das constantes em (5). Em seguida, determine o restante dos coeficientes através da condição de fronteira (1). O procedimento é análogo (mas não idêntico) ao apresentado na seção 10.8 do livro texto Boyce e DiPrima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que trata do potencial eletrostático gerado por um fio circular com certas condições de tensão. A matéria que estamos vendo aqui envolve a equação de Laplace em coordenadas polares, método de separação de variáveis e condições de contorno para encontrar o potencial eletrostático phi(r, theta). Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais, entender a transformação para coordenadas polares e aplicar a separação de variáveis.
Passo 2
Parte (a): Converter a equação de Laplace de coordenadas cartesianas para polares
Primeiro, vamos mostrar que a equação de Laplace em coordenadas cartesianas:
pode ser reescrita em coordenadas polares usando as relações x = r cos theta e y = r sin theta. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de phi em termos de r e theta.
Quando mudamos para coordenadas polares, usamos a regra da cadeia para derivadas. Aplicando isso, encontramos que:
Parte (b): Aplicar o método de separação de variáveis
Agora, vamos usar o método de separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de funções que dependem apenas de r e de theta:
phi(r, theta) = R(r) Theta(theta)
Substituindo isso na equação de Laplace em polares:
Como o lado esquerdo depende apenas de r e o direito apenas de theta, cada parte deve ser igual a uma constante, que chamaremos de -lambda. Assim, temos:
Se r infty, termos como r^n e ln r vão ao infinito. Para que phi(r, theta) permaneça finito, devemos eliminar esses termos. Isso significa que devemos definir c0 = 0, b0 = 0, e cn = 0 para todos n >= 1.
phi(a, theta) = rlc 10, & se 0 < theta <= pi 0, & se theta = 0 -10, & se -pi <= theta < 0
Expandindo a série de Fourier para representar essa condição, obtemos os coeficientes bn, kn e qn. Devido à simetria do problema, apenas os termos de cosseno são necessários (pois a condição é par em theta). Portanto, a solução final para r > a é:
phi(r, theta) = sumn=1^infty bnr^n cos(ntheta)
Onde os coeficientes bn são determinados a partir da série de Fourier da condição de fronteira.
Resposta
Concluímos que o potencial eletrostático na região externa ao fio circular (r > a) é dado por:
phi(r, theta) = sumn=1^infty bnr^n cos(ntheta)
onde os coeficientes bn são calculados a partir da expansão em série de Fourier da condição de fronteira especificada.