d yd x+P(x) y=x, y(0)=1
onde
P(x):= 1, & 0 <= x <= 2 3, & x>2

Passo 1

O enunciado apresenta uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficiente P(x) definido em partes e condição inicial y(0)=1. O conteúdo é: resolução de EDO linear da forma dy/dx + P(x) y = Q(x) com Q(x)=x. Como P(x) muda em x=2, vamos resolver em dois intervalos e usar continuidade de y em x=2.

Passo 2

No intervalo 0 ≤ x ≤ 2, temos P(x)=1. O fator integrante é
mu(x)=e^integral 1,dx=e^x
Multiplicando a EDO por e^x obtém-se
e^xdydx+e^x y= x e^x
que reescreve como
ddxl(y e^xr)=x e^x
Agora integramos ambos os lados:
y e^x=integral x e^x,dx + C1
Usando integração por partes:
integral x e^x,dx= x e^x-integral e^x,dx= x e^x - e^x
Logo
y e^x=(x-1)e^x + C1
e
y=x-1 + C1 e^-x
Aplicando y(0)=1, vem
1=0 -1 + C1 implies C1=2
Assim, para 0 ≤ x ≤ 2:
y1(x)=x-1+2e^-x

Passo 3

No limite x=2, definimos o valor que será usado como condição inicial para o próximo intervalo. Calculamos
y1(2)=2-1+2e^-2=1+2e^-2

Passo 4

Para x>2, temos P(x)=3. O fator integrante é
mu(x)=e^integral3,dx=e^3x
Multiplicando a EDO por e^3x:
e^3xdydx+3e^3xy= x e^3x
ou
ddxl(y e^3xr)=x e^3x
Integramos:
y e^3x=integral x e^3x,dx + C2
Novamente por partes:
integral x e^3x,dx= x3e^3x-integral 13e^3x,dx= l(x3-19r)e^3x
Logo
y e^3x=l(x3-19r)e^3x+C2
e
y=x3-19+C2 e^-3x
Para achar C2, usamos a condição de contorno em x=2: y(2)=1+2e^-2. Substituindo:
1+2e^-2=23-19+C2 e^-6
Logo
C2 e^-6=1+2e^-2-59=49+2e^-2
Portanto
C2=e^6l(49+2e^-2r)=49e^6+2e^4
Assim, para x>2:
y2(x)=x3-19+l(49e^6+2e^4r)e^-3x

Resposta

O valor de y(x) fica dado por
y(x)= x-1+2e^-x,&0<= x<=2, dfracx3-dfrac19+l(dfrac49e^6+2e^4r)e^-3x,&x>2

Exercícios relacionados