O enunciado apresenta uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficiente P(x) definido em partes e condição inicial y(0)=1. O conteúdo é: resolução de EDO linear da forma dy/dx + P(x) y = Q(x) com Q(x)=x. Como P(x) muda em x=2, vamos resolver em dois intervalos e usar continuidade de y em x=2.
Passo 2
No intervalo 0 ≤ x ≤ 2, temos P(x)=1. O fator integrante é
Multiplicando a EDO por obtém-se
que reescreve como
Agora integramos ambos os lados:
Usando integração por partes:
Logo
e
Aplicando y(0)=1, vem
Assim, para 0 ≤ x ≤ 2:
Passo 3
No limite x=2, definimos o valor que será usado como condição inicial para o próximo intervalo. Calculamos
Passo 4
Para x>2, temos P(x)=3. O fator integrante é
Multiplicando a EDO por :
ou
Integramos:
Novamente por partes:
Logo
e
Para achar , usamos a condição de contorno em x=2: . Substituindo: