Sejam a e b inteiros não simultaneamente nulos, d=\operatorname{mdc}(a, b) e k um inteiro não nulo. Prove que:
(a) \operatorname{mdc}(k a, k b)=|k| . d;
(b) Se k \mid a e k \mid b, então mdc \left(\frac{a}{k}, \frac{b}{k}\right)=\frac{d}{|k|}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Dados: a e b são inteiros não simultaneamente nulos; d=\operatorname{mdc}(a,b); k é um inteiro não nulo.
  • Pergunta (a): Mostrar que \operatorname{mdc}(k a, k b)=|k|\cdot d.
  • Pergunta (b): Supondo adicionalmente que k\mid a e k\mid b, mostrar que \operatorname{mdc}\!\left(\dfrac{a}{k},\dfrac{b}{k}\right)=\dfrac{d}{|k|}.
Anotei tudo o que o enunciado fornece. A partir daqui vou provar (a) e (b) passo a passo, explicando bem cada propriedade usada.

Passo 2

Ideia do método que vou usar (sem resolver ainda): vou usar a decomposição em primos (Teorema Fundamental da Aritmética) e a noção de expoente de um primo numa fatoração inteira. Explico isso de forma simples:
  • O Teorema Fundamental da Aritmética diz que todo inteiro não nulo pode ser escrito, de forma única (até ordem), como produto de potências de primos. Por exemplo, para um inteiro n\neq0 podemos escrever
n = \pm \prod_{p\\ \text{prime}} p^{v_p(n)},
onde v_p(n) é um inteiro \ge0 (a maioria dos v_p(n) é zero). O sinal \pm trata o caso negativo.
  • A função v_p(n) (a chamada avaliação p-ádica) tem propriedades fáceis de entender:
    • v_p(mn) = v_p(m) + v_p(n).
    • v_p(\gcd(m,n)) = \min\{v_p(m), v_p(n)\}.
      Essas propriedades vêm diretamente de como os expoentes dos primos se somam ao multiplicar e do fato de que o máximo divisor comum usa o menor expoente comum de cada primo.
Vou usar essas propriedades para comparar expoentes de primos em \gcd(ka,kb) e em |k|d.

Passo 3

Aplicando a ideia: pegue um primo arbitrário p. Vou comparar o expoente de p em \gcd(ka,kb) com o expoente de p em |k|d.
  • Pela propriedade do expoente em produto,
v_p(ka) = v_p(k) + v_p(a), \qquad v_p(kb) = v_p(k) + v_p(b).
  • Pela propriedade do expoente em gcd,
v_p\big(\gcd(ka,kb)\big) = \min\{v_p(ka),\,v_p(kb)\}.
Usando as duas igualdades anteriores,
v_p\big(\gcd(ka,kb)\big) = \min\{v_p(k)+v_p(a),\,v_p(k)+v_p(b)\}.

Passo 4

Agora fatoramos o termo comum v_p(k) na expressão do mínimo:
\min\{v_p(k)+v_p(a),\,v_p(k)+v_p(b)\} = v_p(k) + \min\{v_p(a),\,v_p(b)\}.
Mas \min\{v_p(a),v_p(b)\} = v_p\big(\gcd(a,b)\big) = v_p(d). Portanto
v_p\big(\gcd(ka,kb)\big) = v_p(k) + v_p(d).

Passo 5

A igualdade do expoente de cada primo implica igualdade dos inteiros (pela unicidade da fatoração em primos). Observe também que v_p(|k|)=v_p(k) para todo primo p. Assim, para todo primo p temos
v_p\big(\gcd(ka,kb)\big) = v_p(|k|) + v_p(d) = v_p\big(|k|\cdot d\big).
Como isso vale para todo primo p, concluímos que os dois inteiros são iguais em módulo e sinal positivo, ou seja
\gcd(ka,kb)=|k|\cdot d.
Isto prova a parte (a).

Passo 6

Antes de ir à parte (b), uma observação útil (que será usada): se k\mid a e k\mid b, então |k| é um divisor comum de a e b. Como d=\gcd(a,b) é o maior divisor comum em valor absoluto, segue que |k| divide d. Em particular \dfrac{d}{|k|} é um inteiro não negativo. (Isto garante que a expressão pedida em (b) faz sentido como inteiro.)

Passo 7

Agora provamos (b). Como k\mid a e k\mid b, podemos escrever a = k\cdot \dfrac{a}{k} e b = k\cdot \dfrac{b}{k}. Aplicando o resultado da parte (a) com os inteiros \dfrac{a}{k} e \dfrac{b}{k} (note que estes são inteiros pela hipótese), obtemos:
\gcd\!\big(k\cdot \tfrac{a}{k},\;k\cdot \tfrac{b}{k}\big) = |k|\cdot \gcd\!\big(\tfrac{a}{k},\tfrac{b}{k}\big).
Mas o lado esquerdo é simplesmente \gcd(a,b)=d. Portanto
d = |k|\cdot \gcd\!\big(\tfrac{a}{k},\tfrac{b}{k}\big).

Passo 8

Dividindo ambos os lados por |k| (lembrando que |k|>0), obtemos
\gcd\!\big(\tfrac{a}{k},\tfrac{b}{k}\big) = \dfrac{d}{|k|},
que é exatamente o que se pedia na parte (b). Assim a parte (b) está provada, usando a parte (a) e a hipótese k\mid a,\,k\mid b.

Resposta

(a) \operatorname{mdc}(k a, k b)=|k|\cdot d.
(b) \operatorname{mdc}\!\left(\dfrac{a}{k}, \dfrac{b}{k}\right)=\dfrac{d}{|k|}.

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