Calcule:
(a) \operatorname{mdc}(n, n+2), sendo n um inteiro par;
(b) \operatorname{mdc}(n, n+2), sendo n um inteiro ímpar.

Passo 1

O problema pede para calcular o máximo divisor comum entre n e n+2 em dois casos distintos:
(a) quando n é um inteiro par;
(b) quando n é um inteiro ímpar.
Informações dadas:
  • Temos dois números inteiros relacionados: n e n+2.
  • Em (a) sabemos que n é par (ou seja, divisível por 2).
  • Em (b) sabemos que n é ímpar (ou seja, não é divisível por 2).

Passo 2

Vamos usar uma propriedade básica e muito útil de divisor comum: para quaisquer inteiros a e b,
\gcd(a,b)=\gcd(a,b-a).
Explicação dessa propriedade (passo a passo): seja d um divisor comum de a e b. Então d divide b-a porque se d\mid a e d\mid b então d\mid(b-a). Portanto todo divisor comum de a e b é divisor comum de a e b-a. Reciprocamente, se d\mid a e d\mid(b-a) então d\mid((b-a)+a)=b, então d é divisor comum de a e b. Como os conjuntos de divisores comuns coincidem, o maior deles (o \gcd) também coincide. Assim a propriedade está provada.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso, com a=n e b=n+2, obtemos
\gcd(n,n+2)=\gcd(n,(n+2)-n)=\gcd(n,2).
Ou seja, o máximo divisor comum de n e n+2 é exatamente o mesmo que o máximo divisor comum de n com 2. Isso reduz o problema a analisar apenas \gcd(n,2).

Passo 4

Agora explique o que significa \gcd(n,2). Os divisores de 2 são só 1 e 2. Portanto \gcd(n,2) pode ser somente 1 ou 2. Concretamente:
  • Se 2\mid n (ou seja, n é par), então 2 é um divisor comum de n e 2, então \gcd(n,2)=2.
  • Se 2\nmid n (ou seja, n é ímpar), então 2 não divide n, logo o único divisor comum possível é 1, então \gcd(n,2)=1.

Passo 5

Caso (a): n par. Escrevendo n=2k com k inteiro, temos por (Passo 3)
\gcd(n,n+2)=\gcd(2k,2)=2.
Justificativa detalhada: todo divisor comum de 2k e 2 divide 2; como 2 divide 2k também, o maior divisor comum é 2. Exemplo rápido: para n=4 temos \gcd(4,6)=2.

Passo 6

Caso (b): n ímpar. Como n não é divisível por 2, nenhum divisor maior que 1 pode dividir simultaneamente n e 2. Assim, por (Passo 3),
\gcd(n,n+2)=\gcd(n,2)=1.
Exemplo rápido: para n=5 temos \gcd(5,7)=1.

Resposta

(a) \gcd(n,n+2)=2
(b) \gcd(n,n+2)=1

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