Calcule:
(a)
, sendo
um inteiro par;
(b)
, sendo
um inteiro ímpar.
(a)
(b)
Passo 1
O problema pede para calcular o máximo divisor comum entre
e
em dois casos distintos:
(a) quando é um inteiro par;
(b) quando é um inteiro ímpar.
(a) quando
(b) quando
Informações dadas:
- Temos dois números inteiros relacionados:
e . - Em (a) sabemos que
é par (ou seja, divisível por ). - Em (b) sabemos que
é ímpar (ou seja, não é divisível por ).
Passo 2
Vamos usar uma propriedade básica e muito útil de divisor comum: para quaisquer inteiros
e
,
Explicação dessa propriedade (passo a passo): seja
um divisor comum de
e
. Então
divide
porque se
e
então
. Portanto todo divisor comum de
e
é divisor comum de
e
. Reciprocamente, se
e
então
, então
é divisor comum de
e
. Como os conjuntos de divisores comuns coincidem, o maior deles (o
) também coincide. Assim a propriedade está provada.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso caso, com
e
, obtemos
Ou seja, o máximo divisor comum de
e
é exatamente o mesmo que o máximo divisor comum de
com
. Isso reduz o problema a analisar apenas
.
Passo 4
Agora explique o que significa
. Os divisores de
são só
e
. Portanto
pode ser somente
ou
. Concretamente:
- Se
(ou seja, é par), então é um divisor comum de e , então . - Se
(ou seja, é ímpar), então não divide , logo o único divisor comum possível é , então .
Passo 5
Caso (a):
par. Escrevendo
com
inteiro, temos por (Passo 3)
Justificativa detalhada: todo divisor comum de
e
divide
; como
divide
também, o maior divisor comum é
. Exemplo rápido: para
temos
.
Passo 6
Caso (b):
ímpar. Como
não é divisível por
, nenhum divisor maior que
pode dividir simultaneamente
e
. Assim, por (Passo 3),
Exemplo rápido: para
temos
.
Resposta
(a)
(b)