Sejam
e
inteiros com
. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, dando a demonstração ou um contra-exemplo:
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a igualdade
é verdadeira ou falsa quando
são inteiros e
.
Informações dadas: e
.
Pergunta: a identidade acima vale para todos esses inteiros? Se não vale, apresentar demonstração da falsidade (contraexemplo) ou condições em que ela vale.
Informações dadas:
Pergunta: a identidade acima vale para todos esses inteiros? Se não vale, apresentar demonstração da falsidade (contraexemplo) ou condições em que ela vale.
Passo 2
Vamos recordar o que significa
.
Definição: é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente
e
. Portanto, se
, então
,
e qualquer outro
que divide
e
também satisfaz
.
Uma propriedade útil: se escrevemos e
, então
. Isto simplesmente vem do fato de que extraímos o maior divisor comum.
Definição:
Uma propriedade útil: se escrevemos
Passo 3
Primeira abordagem simples: tentar um contraexemplo. Vou escolher valores inteiros fáceis:
,
,
. Calculo os dois lados da igualdade.
Calcule o lado esquerdo:
Calcule o lado direito:
Como
, a igualdade não se verifica para esses valores. Portanto a afirmação é falsa em geral: já encontramos um contraexemplo.
Passo 4
Agora vamos entender por que a igualdade falha em geral e quais são as condições para que ela seja verdadeira. Isso ajuda a aprender o conceito e a saber quando esperar igualdade numa prova.
Seja
Então existe representação
com
(extraímos o máximo divisor comum). Substituindo em
:
(Extraímos o fator comum
do primeiro argumento; como
também multiplica o segundo, o gcd fica multiplicado por
.)
Agora usamos uma propriedade simples quando
: qualquer divisor comum de
e
divide
e divide
. Mas como
é coprimo a
, esse divisor comum não pode dever-se a fatores em
; assim ele deve dividir
. Formalmente pode-se provar que
(Argumento: se
e
, então
não tem fatores em comum com
, logo
. Assim
divide
. O recíproco é óbvio.)
Logo
Comparando com o lado direito pedido,
queremos saber quando
Dividindo por
(que é positivo),
Isto significa exatamente que
divide
. Lembrando
, a condição é
Portanto a igualdade original ocorre se, e somente se,
Em palavras: depois de tirar de
o fator comum com
, o número
precisa dividir o resto de
. Na maioria dos casos isso não acontece — daí a falsidade em geral.
Passo 5
Resumo didático e exemplo checando a condição: no contraexemplo anterior
,
temos
, então
. O
escolhido foi
, e realmente
, por isso a igualdade falhou. No exemplo onde a igualdade ocorreu antes,
,
,
: temos
, então
e
divide
, por isso a igualdade vale nesse caso.
Resposta
Falsa.