Sejam a, b e c inteiros com a \neq 0. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, dando a demonstração ou um contra-exemplo:
(e) \operatorname{mdc}(a, b c)=b \cdot \operatorname{mdc}(a, c)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a igualdade
\gcd(a,bc)=b\cdot\gcd(a,c)
é verdadeira ou falsa quando a,b,c são inteiros e a\neq0.
Informações dadas: a,b,c\in\mathbb{Z} e a\neq0.
Pergunta: a identidade acima vale para todos esses inteiros? Se não vale, apresentar demonstração da falsidade (contraexemplo) ou condições em que ela vale.

Passo 2

Vamos recordar o que significa \gcd(x,y).
Definição: \gcd(x,y) é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente x e y. Portanto, se g=\gcd(x,y), então g\mid x, g\mid y e qualquer outro d que divide x e y também satisfaz d\mid g.
Uma propriedade útil: se escrevemos x=g x' e y=g y', então \gcd(x',y')=1. Isto simplesmente vem do fato de que extraímos o maior divisor comum.

Passo 3

Primeira abordagem simples: tentar um contraexemplo. Vou escolher valores inteiros fáceis: a=4, b=6, c=2. Calculo os dois lados da igualdade.
Calcule o lado esquerdo:
\gcd(a,bc)=\gcd(4,6\cdot 2)=\gcd(4,12)=4.
Calcule o lado direito:
b\cdot\gcd(a,c)=6\cdot\gcd(4,2)=6\cdot 2=12.
Como 4\neq12, a igualdade não se verifica para esses valores. Portanto a afirmação é falsa em geral: já encontramos um contraexemplo.

Passo 4

Agora vamos entender por que a igualdade falha em geral e quais são as condições para que ela seja verdadeira. Isso ajuda a aprender o conceito e a saber quando esperar igualdade numa prova.
Seja
d=\gcd(a,c).
Então existe representação
a=d a',\qquad c=d c',
com \gcd(a',c')=1 (extraímos o máximo divisor comum). Substituindo em \gcd(a,bc):
\gcd(a,bc)=\gcd(d a',\, b\cdot d c')=d\cdot\gcd(a',\, b c').
(Extraímos o fator comum d do primeiro argumento; como d também multiplica o segundo, o gcd fica multiplicado por d.)
Agora usamos uma propriedade simples quando \gcd(a',c')=1: qualquer divisor comum de a' e b c' divide a' e divide b c'. Mas como a' é coprimo a c', esse divisor comum não pode dever-se a fatores em c'; assim ele deve dividir b. Formalmente pode-se provar que
\gcd(a',\, b c')=\gcd(a',\, b).
(Argumento: se t\mid a' e t\mid b c', então t não tem fatores em comum com c', logo t\mid b. Assim t divide \gcd(a',b). O recíproco é óbvio.)
Logo
\gcd(a,bc)=d\cdot\gcd(a',b).
Comparando com o lado direito pedido,
b\cdot\gcd(a,c)=b\cdot d,
queremos saber quando
d\cdot\gcd(a',b)=b\cdot d.
Dividindo por d (que é positivo),
\gcd(a',b)=b.
Isto significa exatamente que b divide a'. Lembrando a'=a/d, a condição é
b \mid \frac{a}{\gcd(a,c)}.
Portanto a igualdade original ocorre se, e somente se,
b \mid \frac{a}{\gcd(a,c)}.
Em palavras: depois de tirar de a o fator comum com c, o número b precisa dividir o resto de a. Na maioria dos casos isso não acontece — daí a falsidade em geral.

Passo 5

Resumo didático e exemplo checando a condição: no contraexemplo anterior a=4, c=2 temos d=\gcd(4,2)=2, então a/d=2. O b escolhido foi 6, e realmente 6\nmid2, por isso a igualdade falhou. No exemplo onde a igualdade ocorreu antes, a=6, b=2, c=3: temos d=\gcd(6,3)=3, então a/d=2 e b=2 divide a/d, por isso a igualdade vale nesse caso.

Resposta

Falsa.

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