Sejam
e
inteiros. Prove que:
(b) Se
e se
, então
.
(b) Se
Passo 1
Enunciado e o que é pedido. Temos inteiros
e as informações:
A pergunta é: provar que
Ou seja, mostrar que
é coprimo com
e também com
.
Passo 2
Lembrando definições e propriedades básicas (explicação didática):
- Dizemos que
(lê-se “ divide ”) quando existe um inteiro tal que . Ex.: porque . - O máximo divisor comum
é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente e . Se dizemos que e são coprimos (não têm divisor comum maior que ). - Propriedade útil: se um inteiro
divide dois inteiros e , então divide qualquer combinação linear inteira desses, por exemplo e . Em particular, se e então . Essa última observação será a chave.
Passo 3
Vamos provar primeiro que
. Defina
Pelo significado de
, temos
e
.
Passo 4
Usando
(dada), existe um inteiro
tal que
Como
, segue que
, isto é,
Agora temos
e
. Pela propriedade citada no Passo 2, disso decorre
Portanto
divide simultaneamente
e
.
Passo 5
Como
(hipótese), o único divisor comum positivo de
e
é
. Assim o divisor
que divide ambos deve ser
. Concluímos
Passo 6
O argumento é simétrico trocando
por
. Mais precisamente, definindo
, temos
e
; como
obtemos
; então
. Logo
divide
e
simultaneamente, e pela hipótese
segue
. Assim