Sejam a, b e c inteiros. Prove que:
(b) Se \operatorname{mdc}(a, b)=1 e se c \mid a+b, então \operatorname{mdc}(a, c)=1=\operatorname{mdc}(b, c).

Passo 1

Enunciado e o que é pedido. Temos inteiros a,b,c e as informações:
\operatorname{mdc}(a,b)=1
c\mid a+b
A pergunta é: provar que
\operatorname{mdc}(a,c)=1=\operatorname{mdc}(b,c).
Ou seja, mostrar que c é coprimo com a e também com b.

Passo 2

Lembrando definições e propriedades básicas (explicação didática):
  • Dizemos que x\mid y (lê-se “ x divide y”) quando existe um inteiro k tal que y=kx. Ex.: 3\mid 12 porque 12=4\cdot3.
  • O máximo divisor comum \operatorname{mdc}(u,v) é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente u e v. Se \operatorname{mdc}(u,v)=1 dizemos que u e v são coprimos (não têm divisor comum maior que 1).
  • Propriedade útil: se um inteiro d divide dois inteiros x e y, então d divide qualquer combinação linear inteira desses, por exemplo d\mid(x+y) e d\mid(x-y). Em particular, se d\mid x e d\mid(x+y) então d\mid\big((x+y)-x\big)=y. Essa última observação será a chave.

Passo 3

Vamos provar primeiro que \operatorname{mdc}(a,c)=1. Defina
d=\operatorname{mdc}(a,c).
Pelo significado de \operatorname{mdc}, temos d\mid a e d\mid c.

Passo 4

Usando c\mid a+b (dada), existe um inteiro m tal que
a+b = m c.
Como d\mid c, segue que d\mid m c, isto é,
d\mid (a+b).
Agora temos d\mid a e d\mid (a+b). Pela propriedade citada no Passo 2, disso decorre
d\mid\big((a+b)-a\big)=b.
Portanto d divide simultaneamente a e b.

Passo 5

Como \operatorname{mdc}(a,b)=1 (hipótese), o único divisor comum positivo de a e b é 1. Assim o divisor d que divide ambos deve ser 1. Concluímos
\operatorname{mdc}(a,c)=d=1.

Passo 6

O argumento é simétrico trocando a por b. Mais precisamente, definindo e=\operatorname{mdc}(b,c), temos e\mid b e e\mid c; como c\mid a+b obtemos e\mid(a+b); então e\mid\big((a+b)-b\big)=a. Logo e divide a e b simultaneamente, e pela hipótese \operatorname{mdc}(a,b)=1 segue e=1. Assim
\operatorname{mdc}(b,c)=1.

Resposta

\operatorname{mdc}(a,c)=1
\operatorname{mdc}(b,c)=1

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