Sejam A=(0,1) e B=\left\{\left.\frac{1}{n} \right\rvert\, n \in \mathbb{N}\right\}. Determine:
\operatorname{fr}(B)

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
B = \left\{\frac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}
do espaço topológico usual \mathbb{R} e pede a fronteira de B, isto é
\operatorname{fr}(B) = \overline{B} \setminus \operatorname{int}(B).
Vamos usar os conceitos de fecho ( \overline{B}) e interior ( \operatorname{int}(B)) em \mathbb{R}.

Passo 2

Para encontrar o fecho \overline{B}, observamos que a única possível ponto-limite de B em \mathbb{R} é 0, pois
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0.
Não há outros pontos de acumulação. Logo,
\overline{B} = B \;\cup\;\{0\}.

Passo 3

Para achar o interior \operatorname{int}(B), lembramos que um ponto está no interior se existe um intervalo aberto ao seu redor contido em B. Como B é contável e isolado em cada \frac1n, nenhum ponto admite um intervalo inteiro contido em B. Portanto
\operatorname{int}(B) = \varnothing.

Passo 4

Finalmente, a fronteira de B é
\operatorname{fr}(B) = \overline{B} \setminus \operatorname{int}(B) = \bigl(B\cup\{0\}\bigr)\setminus\varnothing = B\cup\{0\}.

Resposta

\displaystyle \operatorname{fr}(B)=B\cup\{0\}.

Exercícios relacionados