Sejam A=(0,1) e B=\left\{\left.\frac{1}{n} \right\rvert\, n \in \mathbb{N}\right\}. Determine:
A^{\prime}-B^{\prime}

Passo 1

O enunciado define os conjuntos
A = (0,1)
e
B = \Bigl\{\tfrac{1}{n}\mid n\in\mathbb{N}\Bigr\}
e pede para calcular
A' - B',
onde X' é o conjunto derivado de X, isto é, o conjunto de todos os pontos-limite de X. Vamos usar a definição: x\in X' se toda vizinhança de x contém algum ponto de X diferente de x.

Passo 2

Para achar A', note que qualquer ponto x de (0,1) é interior e toda vizinhança de x contém outros pontos de (0,1), logo (0,1)\subset A'. Além disso, nos extremos 0 e 1 qualquer intervalo em torno de 0 ou de 1 intercepta (0,1), então 0 e 1 também são pontos-limite. Concluímos
A' = [0,1].

Passo 3

Para achar B', observe que B=\{1,\,\tfrac12,\,\tfrac13,\dots\} é uma sequência que converge a 0. Cada ponto 1/n tem uma vizinhança pequena que não atinge nenhum outro 1/m com m\neq n, logo esses são isolados e não estão em B'. O único ponto-limite é
0,
pois toda vizinhança de 0 contém termos da forma 1/n. Assim
B' = \{0\}.

Passo 4

Finalmente, fazemos a diferença de conjuntos:
A' - B' = [0,1] - \{0\} = (0,1].

Resposta

(0,1]

Exercícios relacionados