Sejam A=(0,1) e B=\left\{\left.\frac{1}{n} \right\rvert\, n \in \mathbb{N}\right\}. Determine: (A-B)^{\prime}
Passo 1
O enunciado define
A = (0,1), \qquad B = \bigl\{\,\tfrac1n \mid n\in\mathbb{N}\bigr\},
e pede o conjunto derivado (A - B)', ou seja, o conjunto de todos os pontos x tais que em toda vizinhança de x há pontos de A - B distintos de x. Para resolver, vamos usar a definição de ponto de acumulação e estudar a forma de A - B.
Passo 2
Observe que A - B é o intervalo aberto (0,1) com os pontos \tfrac12,\tfrac13,\tfrac14,\dots removidos. Como \tfrac11=1 já não pertence a (0,1), os pontos removidos efetivamente são
\Bigl\{\tfrac1n \mid n\ge2\Bigr\}.
Logo
A - B=(0,1)\setminus\Bigl\{\tfrac12,\tfrac13,\tfrac14,\dots\Bigr\}.
Passo 3
Todo ponto x\in A-B fica num desses intervalos abertos
logo existe um pequeno raio em torno de x contido inteiramente em A-B. Assim, qualquer x\in A-B é ponto de acumulação de A-B.
Passo 4
Agora examinemos cada ponto removido \tfrac1n com n\ge2. Qualquer vizinhança de \tfrac1n intersecta tanto o intervalo (\tfrac1{n+1},\tfrac1n)\subset A-B quanto (\tfrac1n,\tfrac1{n-1})\subset A-B (para n=2 basta olhar em (\tfrac12,1)). Logo em toda vizinhança de \tfrac1n há pontos de A-B, de modo que \tfrac1n também é ponto de acumulação.
Passo 5
Finalmente, olhemos os extremos 0 e 1. Para qualquer \varepsilon>0:
Há x\in(0,\varepsilon) que não é da forma \tfrac1n, logo x\in A-B próximo de 0.
Há y\in(1-\varepsilon,1) em (0,1) que não coincide com nenhum \tfrac1n, logo y\in A-B próximo de 1.
Isso mostra que 0 e 1 são pontos de acumulação de A-B.