Sejam A e B matrizes inversíveis de ordem n. Mostrar as seguintes identidades
\operatorname{adj}\left(A^{-1}\right)=(\operatorname{adj}(A))^{-1}=A /|A|.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, para uma matriz invertível A de ordem n, que
\operatorname{adj}\bigl(A^{-1}\bigr)\;=\;\bigl(\operatorname{adj}(A)\bigr)^{-1}\;=\;\frac{A}{\lvert A\rvert}.
O conteúdo principal aqui é a definição e propriedade da matriz adjunta (ou adjugata):
A\,\operatorname{adj}(A)=\operatorname{adj}(A)\,A=\lvert A\rvert\,I_n.
A partir daí veremos como expressar \operatorname{adj}(A) e aplicar essa fórmula a A^{-1}.

Passo 2

Como A é invertível, multiplica-se a identidade
A\,\operatorname{adj}(A)=\lvert A\rvert\,I_n
pela direita por A^{-1}. Isso dá
A\,\operatorname{adj}(A)\,A^{-1} =\lvert A\rvert\,I_n\,A^{-1} \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{adj}(A) =\lvert A\rvert\,A^{-1}.

Passo 3

Agora calculamos \operatorname{adj}(A^{-1}). Usando a mesma propriedade para A^{-1}, temos
\operatorname{adj}\bigl(A^{-1}\bigr) =\lvert A^{-1}\rvert\,(A^{-1})^{-1}.
Mas sabemos que \lvert A^{-1}\rvert=1/\lvert A\rvert e (A^{-1})^{-1}=A. Logo
\operatorname{adj}\bigl(A^{-1}\bigr) =\frac{1}{\lvert A\rvert}\,A =\frac{A}{\lvert A\rvert}.

Passo 4

Em seguida, tomamos inversa de \operatorname{adj}(A). Da expressão
\operatorname{adj}(A)=\lvert A\rvert\,A^{-1}
segue-se que
\bigl(\operatorname{adj}(A)\bigr)^{-1} =\bigl(\lvert A\rvert\,A^{-1}\bigr)^{-1} =\frac{1}{\lvert A\rvert}\,\bigl(A^{-1}\bigr)^{-1} =\frac{A}{\lvert A\rvert}.

Passo 5

Comparando os resultados de \operatorname{adj}(A^{-1}) e de \bigl(\operatorname{adj}(A)\bigr)^{-1}, vemos que ambos são iguais a A/\lvert A\rvert. Portanto,
\operatorname{adj}\bigl(A^{-1}\bigr) =\bigl(\operatorname{adj}(A)\bigr)^{-1} =\frac{A}{\lvert A\rvert}.

Resposta

\displaystyle \operatorname{adj}\bigl(A^{-1}\bigr) =\bigl(\operatorname{adj}(A)\bigr)^{-1} =\frac{A}{\lvert A\rvert}.

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