Sejam A e B matrizes inversíveis de ordem n. Mostrar as seguintes identidades
\operatorname{adj}(\operatorname{adj}(A))=|A|^{n-2} A.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma matriz inversível A de ordem n, vale
\adj\bigl(\adj(A)\bigr)\;=\;|A|^{\,n-2}\,A.
Vamos usar as propriedades da matriz adjunta e do determinante.

Passo 2

Sabemos que, para toda matriz quadrada invertível A, vale
A\,\adj(A)=|A|\,I
e, portanto,
\adj(A)=|A|\,A^{-1}.

Passo 3

Agora, tomamos o determinante de \adj(A). Como \adj(A)=|A|\,A^{-1}, temos
\det\bigl(\adj(A)\bigr) =\det\bigl(|A|\,A^{-1}\bigr) =|A|^{n}\,\det\bigl(A^{-1}\bigr) =|A|^{n}\,\frac{1}{|A|} =|A|^{\,n-1}.

Passo 4

Usando novamente a definição de adjunta em M=\adj(A),
\adj\bigl(\adj(A)\bigr) =\det\bigl(\adj(A)\bigr)\,\bigl(\adj(A)\bigr)^{-1} =|A|^{\,n-1}\,\bigl(|A|\,A^{-1}\bigr)^{-1} =|A|^{\,n-1}\,\frac{A}{|A|} =|A|^{\,n-2}\,A.

Resposta

\adj\bigl(\adj(A)\bigr)=|A|^{\,n-2}\,A.

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