Sejam A e B matrizes n \times n. Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta.
(A-B)^{2}=(B-A)^{2} deve ser verdadeiro.

Passo 1

O enunciado apresenta duas matrizes A e B de ordem n e pede para decidir se a igualdade
(A - B)^2 = (B - A)^2
é verdadeira. O conteúdo envolvido é álgebra matricial, em particular operações de soma, multiplicação e multiplicação por escalar.

Passo 2

Observe que
B - A = -1 \cdot (A - B),
pois multiplicar uma matriz por -1 inverte o seu sinal.

Passo 3

Usando a propriedade de potência de produto por escalar, temos para todo escalar k e matriz M que
(kM)^2 = k^2\,M^2.
Aplicando isso com k=-1 e M=A-B, resulta
(B - A)^2 = \bigl(-1\cdot (A - B)\bigr)^2 = (-1)^2\,(A - B)^2.

Passo 4

Como (-1)^2 = 1, segue
(B - A)^2 = 1\cdot (A - B)^2 = (A - B)^2.
Logo, a igualdade é sempre satisfeita.

Resposta

Verdadeiro.

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