No sistema dos números reais, a equação a^{2}=1 tem exatamente duas soluções. Encontre pelo menos oito matrizes 3 \times 3 que satisfazem a equação A^{2}=I_{3}. [Sugestão. Procure soluções entre as matrizes com entradas zero fora da diagonal principal.]

Passo 1

O enunciado pede matrizes 3\times3 tais que
A^{2}=I_{3},
e sugere procurar entre as matrizes com entradas zero fora da diagonal principal, ou seja, matrizes diagonais.

Passo 2

Seja
A=\mathrm{diag}(a,b,c).
Então
A^{2}=\mathrm{diag}(a^{2},b^{2},c^{2}).
Para garantir A^{2}=I_{3} precisamos
a^{2}=1,\quad b^{2}=1,\quad c^{2}=1.

Passo 3

Cada uma das variáveis a,b,c só pode ser +1 ou -1. Como são três entradas independentes, há 2^{3}=8 escolhas de sinais.

Passo 4

Cada combinação de sinais gera uma matriz solução, todas na forma diagonal com entradas \pm1 na diagonal principal e zeros fora dela.

Resposta

\mathrm{diag}(1,1,1),\; \mathrm{diag}(1,1,-1),\; \mathrm{diag}(1,-1,1),\; \mathrm{diag}(-1,1,1),\; \mathrm{diag}(1,-1,-1),\; \mathrm{diag}(-1,1,-1),\; \mathrm{diag}(-1,-1,1),\; \mathrm{diag}(-1,-1,-1).

Exercícios relacionados