Sejam A e B matrizes n \times n. Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta.
\left(A B^{-1}\right)\left(B A^{-1}\right)=I_{n} deve ser verdadeiro.

Passo 1

O enunciado diz: dadas matrizes A e B de ordem n que admitem inversa (isto é, A^{-1} e B^{-1} existem), decidir se
\bigl(A\,B^{-1}\bigr)\,\bigl(B\,A^{-1}\bigr)=I_{n}.
Vamos usar a associatividade da multiplicação de matrizes e a propriedade de inverso.

Passo 2

Começamos reagrupando os fatores por associatividade e aplicando B^{-1}B=I_{n}:
\bigl(A\,B^{-1}\bigr)\,\bigl(B\,A^{-1}\bigr) = A\,\bigl(B^{-1}B\bigr)\,A^{-1}.

Passo 3

Como B^{-1}B=I_{n}, obtemos
A\,\bigl(B^{-1}B\bigr)\,A^{-1} = A\,I_{n}\,A^{-1} = A\,A^{-1}.

Passo 4

Pela definição de matriz inversa, A\,A^{-1}=I_{n}. Logo
\bigl(A\,B^{-1}\bigr)\,\bigl(B\,A^{-1}\bigr)=I_{n}.

Resposta

Verdadeira.

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