Uma afirmação do tipo "Se p, então q " é logicamente equivalente à afirmação “Se não q, então não p.” (A segunda afirmação é chamada a contraposição lógica da primeira.) Por exemplo, a contraposição lógica da afirmação “Se está chovendo, então o chão está molhado” é “Se o chão não está molhado, então não está chovendo.”
(a) Encontre a contraposição lógica da afirmação: Se A^{T} é singular, então A é singular.
(b) A afirmação é verdadeira ou falsa? Explique.

Passo 1

O enunciado fala de uma afirmação lógica da forma “Se p, então q”, onde p é “ A^{T} é singular” e q é “ A é singular”.
O conteúdo envolve lógica (contraposição) e álgebra linear (matriz singular versus invertível).

Passo 2

A contraposição troca e nega as proposições: “Se não q, então não p”.
A negação de “ A é singular” é “ A não é singular”, ou seja, “ A é invertível”.
A negação de “ A^{T} é singular” é “ A^{T} é invertível”.
Logo, a contraposição é:
Se A é invertível, então A^{T} é invertível.

Passo 3

Para avaliar a veracidade da afirmação original (“Se A^{T} é singular, então A é singular”), usamos a propriedade do determinante:
\det(A^{T}) = \det(A).
Dessa igualdade segue que \det(A)=0 se, e somente se, \det(A^{T})=0.
Isto é, A é singular exatamente quando A^{T} é singular. Portanto a afirmação original é verdadeira.

Resposta

(a) A contraposição é: “Se A é invertível, então A^{T} é invertível.”
(b) A afirmação é verdadeira, pois \det(A^{T})=\det(A), de modo que A é singular se, e somente se, A^{T} é singular.

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