Uma afirmação do tipo "Se
, então
" é logicamente equivalente à afirmação “Se não
, então não
.” (A segunda afirmação é chamada a contraposição lógica da primeira.) Por exemplo, a contraposição lógica da afirmação “Se está chovendo, então o chão está molhado” é “Se o chão não está molhado, então não está chovendo.”
(a) Encontre a contraposição lógica da afirmação: Se
é singular, então
é singular.
(b) A afirmação é verdadeira ou falsa? Explique.
(a) Encontre a contraposição lógica da afirmação: Se
(b) A afirmação é verdadeira ou falsa? Explique.
Passo 1
O enunciado fala de uma afirmação lógica da forma “Se
, então
”, onde
é “
é singular” e
é “
é singular”.
O conteúdo envolve lógica (contraposição) e álgebra linear (matriz singular versus invertível).
O conteúdo envolve lógica (contraposição) e álgebra linear (matriz singular versus invertível).
Passo 2
A contraposição troca e nega as proposições: “Se não
, então não
”.
A negação de “ é singular” é “
não é singular”, ou seja, “
é invertível”.
A negação de “ é singular” é “
é invertível”.
Logo, a contraposição é:
Se é invertível, então
é invertível.
A negação de “
A negação de “
Logo, a contraposição é:
Se
Passo 3
Para avaliar a veracidade da afirmação original (“Se
é singular, então
é singular”), usamos a propriedade do determinante:
Dessa igualdade segue que
se, e somente se,
.
Isto é, é singular exatamente quando
é singular. Portanto a afirmação original é verdadeira.
Isto é,
Resposta
(a) A contraposição é: “Se
é invertível, então
é invertível.”
(b) A afirmação é verdadeira, pois , de modo que
é singular se, e somente se,
é singular.
(b) A afirmação é verdadeira, pois