Sejam A e B matrizes n \times n. Mostre que, se A é invertível, então \operatorname{det}(B)=\operatorname{det}\left(A^{-1} B A\right).

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes A e B de ordem n com A invertível. O conteúdo que vamos usar é a propriedade multiplicativa do determinante, isto é, para quaisquer matrizes quadradas compatíveis X e Y vale
\det(XY)=\det(X)\,\det(Y),
e o fato de que, quando A é invertível,
\det\bigl(A^{-1}\bigr)=\frac{1}{\det(A)}.

Passo 2

Aplicamos a multiplicatividade ao produto A^{-1}BA:
\det\bigl(A^{-1}BA\bigr) =\det\bigl(A^{-1}\bigr)\,\det(B)\,\det(A).
Substituindo \det(A^{-1})=1/\det(A), obtemos
\det\bigl(A^{-1}BA\bigr) =\frac{1}{\det(A)}\;\det(B)\;\det(A) =\det(B).

Resposta

\det(B)=\det\bigl(A^{-1}BA\bigr).

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