Sejam A e B matrizes n \times n. Sabe-se que A B e B A podem não coincidir. Vale o mesmo para \operatorname{det}(A B) \mathrm{e} \operatorname{det}(B A) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado diz que, em geral, AB\neq BA para matrizes A,B\in M_{n}(\Bbb K) e pergunta se o mesmo pode ocorrer com os determinantes \det(AB) e \det(BA).
Conteúdo necessário: usar a propriedade multiplicativa do determinante e o fato de que números escalares comutam.

Passo 2

Pela propriedade multiplicativa do determinante, para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma ordem vale
\det(AB)=\det(A)\,\det(B)\,.

Passo 3

Aplicando a mesma propriedade a BA, obtemos
\det(BA)=\det(B)\,\det(A)\,.
Mas como \det(A) e \det(B) são escalares num corpo, temos \det(A)\det(B)=\det(B)\det(A).

Passo 4

Daí segue imediatamente
\det(AB)=\det(A)\,\det(B)=\det(B)\,\det(A)=\det(BA)\,.
Ou seja, independentemente de AB ser diferente de BA, seus determinantes coincidem.

Resposta

\det(AB)=\det(BA) sempre.

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