Encontre o número de inversões em cada uma das seguintes permutações de {1,2,3,4,5} e, em seguida, classifique-as.
(b) (5,3,4,2,1)

Passo 1

O enunciado nos dá a permutação (5,3,4,2,1) dos elementos \{1,2,3,4,5\}. Precisamos determinar o número de inversões e classificar a permutação como par ou ímpar.

Passo 2

Uma inversão é um par de índices i<j tal que a_i>a_j, onde a=(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5) é a permutação. Aqui a_1=5, a_2=3, a_3=4, a_4=2, a_5=1. Vamos contar os pares (i,j) com i<j e a_i>a_j.

Passo 3

Para a_1=5: à direita aparecem 3,4,2,1, todos menores que 5, gerando 4 inversões.
Para a_2=3: à direita aparecem 4,2,1; apenas 2 e 1 são menores que 3, gerando 2 inversões.
Para a_3=4: à direita aparecem 2,1, ambos menores que 4, gerando 2 inversões.
Para a_4=2: à direita aparece 1, menor que 2, gerando 1 inversão.
Para a_5=1: não há elementos à direita, gerando 0 inversões.

Passo 4

Somando todas as inversões, temos
4 + 2 + 2 + 1 + 0 = 9.

Passo 5

Como o total de inversões é 9, que é ímpar, concluímos que a permutação é ímpar.

Resposta

Número de inversões: 9.
Classificação: permutação ímpar.

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