Considere
e
matrizes quadradas de mesma ordem. Demonstre que:
se
é uma matriz antissimétrica, então
é uma matriz antissimétrica.
se
Passo 1
O enunciado diz que
e
são matrizes quadradas da mesma ordem e que
é antissimétrica, ou seja,
Queremos mostrar que a matriz
também satisfaz
. Para isso, usaremos as propriedades da transposta de um produto de matrizes.
Passo 2
Lembrando que, para quaisquer matrizes
e
compatíveis, vale
e estendendo a três fatores:
Aplicando isso a
, com
,
e
, temos
Passo 3
Como
é antissimétrica,
, e sabemos também que
. Substituindo essas igualdades na expressão anterior,
Passo 4
Mostramos que
logo
é antissimétrica.