Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem e a e b números reais. Diga se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
(h) (A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2}.

Passo 1

O enunciado considera duas matrizes quadradas A e B de mesma ordem e nos pede para avaliar a veracidade da igualdade
(A+B)(A-B)=A^{2}-B^{2}.
O conteúdo usado aqui é a distributividade do produto matricial e o fato de que, em geral, matrizes não comutam.

Passo 2

Vamos usar a distributividade para expandir o produto à esquerda:
(A+B)(A-B) = A(A-B) + B(A-B) = A^{2} - A\,B + B\,A - B^{2}.

Passo 3

Reescrevendo,
(A+B)(A-B) = A^{2} - B^{2} \;+\; (B\,A - A\,B).
O termo extra B\,A - A\,B só desaparece se e somente se A\,B = B\,A, isto é, se A e B comutarem.

Passo 4

Como o enunciado não exige que A e B comutem, em geral temos
(A+B)(A-B)\neq A^{2}-B^{2}.
Por exemplo, para
A=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix},
calcula-se AB\neq BA e verifica-se que (A+B)(A-B) difere de A^2-B^2.

Resposta

Falsa.

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