Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem e a e b números reais. Diga se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.
(d) (a A)(b B)=a b A B

Passo 1

O enunciado pergunta se, dadas matrizes quadradas A e B de mesma ordem e escalares reais a e b, vale a igualdade
(aA)(bB) = ab\,AB.
O conteúdo usado será a definição de produto de matrizes e a propriedade de que a multiplicação de uma matriz por escalar pode ser “puxada” para fora da soma no produto matricial.

Passo 2

Usando a definição de produto matricial, o elemento (i,j) de (aA)(bB) é
\bigl((aA)(bB)\bigr)_{ij} = \sum_{k=1}^n (aA)_{ik}\,(bB)_{kj} = \sum_{k=1}^n \bigl(a\,A_{ik}\bigr)\,\bigl(b\,B_{kj}\bigr) = a\,b \sum_{k=1}^n A_{ik}\,B_{kj} = \bigl(ab\,(AB)\bigr)_{ij}.
Como isso vale para todo par (i,j), concluímos que
(aA)(bB) = ab\,AB.

Resposta

Verdadeira.

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