Sejam
e
matrizes quaisquer no espaço vetorial das matrizes de ordem
. A única das relações dadas abaixo, que representa um produto interno no espaço mencionado, é:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede que a gente identifique, no espaço vetorial de matrizes
, qual das formas
dadas satisfaz as três propriedades de um produto interno:
- bilinearidade em cada argumento;
- simetria
; - positividade definida
para toda matriz .
Passo 2
Analisando a alternativa (a),
.
A função não é linear em
(por exemplo,
). Além disso, para
pode acontecer
(se
não for de posto completo), violando positividade definida. Logo, (a) falha.
A função
Passo 3
Na alternativa (b),
.
Claramente não é bilinear em (pois
), então falha já em bilinearidade.
Claramente não é bilinear em
Na alternativa (c),
.
Isso não é nem bilinear em nem em
; por exemplo,
.
Isso não é nem bilinear em
Passo 4
Na alternativa (e),
.
Isto é bilinear e simétrico, mas falha em positividade definida: se porém
, então
.
Isto é bilinear e simétrico, mas falha em positividade definida: se
Passo 5
Na alternativa (d),
.
- Bilinearidade: .
- Simetria: .
- Positividade:
quando
.
Portanto, só (d) satisfaz todas as propriedades de um produto interno.
Resposta
(d)