Sejam
e
vetores em
. Assinale a única sentença FALSA:
a)
;
b)
é um conjunto linearmente independente;
c)
é uma base de
;
d) Todo vetor de
é combinação linear dos vetores
e
;
e)
é subespaço de
, pois
.
a)
b)
c)
d) Todo vetor de
e)
Passo 1
O enunciado define os vetores
no espaço
. O conteúdo aqui é noções de span (geração de subespaço), independência linear, base e subespaço. Vamos verificar cada sentença à luz dessas definições.
Passo 2
Sentença (a): “
.”
Por definição, é o conjunto de todas as combinações lineares
Por definição,
onde
. Isso gera exatamente todos os vetores de
. Logo, a sentença (a) é verdadeira.
Passo 3
Sentença (b): “
é um conjunto linearmente independente.”
Para verificar independência linear, vemos que
Para verificar independência linear, vemos que
implica diretamente
. Portanto, o conjunto é linearmente independente e (b) é verdadeira.
Passo 4
Sentença (c): “
é uma base de
.”
Uma base de é um conjunto de 4 vetores que seja independente e que gere
. Já mostramos em (a) que gera e em (b) que é independente. Logo, (c) é verdadeira.
Uma base de
Passo 5
Sentença (d): “Todo vetor de
é combinação linear dos vetores
.”
Isto é exatamente a definição de gerar . Como vimos em (a), qualquer
pode ser escrito como
Isto é exatamente a definição de gerar
Portanto, (d) é verdadeira.
Passo 6
Sentença (e): “
é subespaço de
, pois
.”
O subespaço gerado por em
é
O subespaço gerado por
que é isomorfo a
, mas não igual ao conjunto usual de tripletas
. Sendo
definido como o espaço de tuplas de comprimento 3, ele não é subconjunto de
. Logo, a sentença (e) é falsa.
Resposta
(e)