Sejam e_{1}=(1,0,0,0), e_{2}=(0,1,0,0), e_{3}=(0,0,1,0) e e_{4}=(0,0,0,1) vetores em \mathbb{R}^{4}. Assinale a única sentença FALSA:
a) \left[e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}\right]=\mathbb{R}^{4};
b) \left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}\right\} é um conjunto linearmente independente;
c) \left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}\right\} é uma base de \mathbb{R}^{4};
d) Todo vetor de \mathbb{R}^{4} é combinação linear dos vetores e_{1}, e_{2}, e_{3} e e_{4};
e) \mathbb{R}^{3} é subespaço de \mathbb{R}^{4}, pois \mathbb{R}^{3}=\left[e_{1}, e_{2}, e_{3}\right] \subset \mathbb{R}^{4}.

Passo 1

O enunciado define os vetores
e_{1}=(1,0,0,0),\quad e_{2}=(0,1,0,0),\quad e_{3}=(0,0,1,0),\quad e_{4}=(0,0,0,1)
no espaço \mathbb{R}^{4}. O conteúdo aqui é noções de span (geração de subespaço), independência linear, base e subespaço. Vamos verificar cada sentença à luz dessas definições.

Passo 2

Sentença (a): “ \bigl[e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\bigr]=\mathbb{R}^{4}.”
Por definição, \bigl[e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\bigr] é o conjunto de todas as combinações lineares
\alpha_{1}e_{1}+\alpha_{2}e_{2}+\alpha_{3}e_{3}+\alpha_{4}e_{4}=(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}),
onde \alpha_{i}\in\mathbb{R}. Isso gera exatamente todos os vetores de \mathbb{R}^{4}. Logo, a sentença (a) é verdadeira.

Passo 3

Sentença (b): “ \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\} é um conjunto linearmente independente.”
Para verificar independência linear, vemos que
\alpha_{1}e_{1}+\alpha_{2}e_{2}+\alpha_{3}e_{3}+\alpha_{4}e_{4}=(0,0,0,0)
implica diretamente \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=\alpha_{4}=0. Portanto, o conjunto é linearmente independente e (b) é verdadeira.

Passo 4

Sentença (c): “ \{e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}\} é uma base de \mathbb{R}^{4}.”
Uma base de \mathbb{R}^{4} é um conjunto de 4 vetores que seja independente e que gere \mathbb{R}^{4}. Já mostramos em (a) que gera e em (b) que é independente. Logo, (c) é verdadeira.

Passo 5

Sentença (d): “Todo vetor de \mathbb{R}^{4} é combinação linear dos vetores e_{1},e_{2},e_{3},e_{4}.”
Isto é exatamente a definição de gerar \mathbb{R}^{4}. Como vimos em (a), qualquer (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) pode ser escrito como
x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}.
Portanto, (d) é verdadeira.

Passo 6

Sentença (e): “ \mathbb{R}^{3} é subespaço de \mathbb{R}^{4}, pois \mathbb{R}^{3}=[e_{1},e_{2},e_{3}]\subset\mathbb{R}^{4}.”
O subespaço gerado por e_{1},e_{2},e_{3} em \mathbb{R}^{4} é
[e_{1},e_{2},e_{3}] = \{(x,y,z,0)\mid x,y,z\in\mathbb{R}\},
que é isomorfo a \mathbb{R}^{3}, mas não igual ao conjunto usual de tripletas \mathbb{R}^{3}=\{(x,y,z)\mid x,y,z\in\mathbb{R}\}. Sendo \mathbb{R}^{3} definido como o espaço de tuplas de comprimento 3, ele não é subconjunto de \mathbb{R}^{4}. Logo, a sentença (e) é falsa.

Resposta

(e)

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