Sejam
e
matrizes de tamanho
. Prove o seguinte:
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dadas matrizes quadradas
e
invertíveis, vale
O conteúdo principal que vamos usar é a propriedade de inversão de produto de matrizes e a distributividade da multiplicação sobre a soma.
Passo 2
Lembramos que, para quaisquer matrizes invertíveis
de dimensões compatíveis, vale
No nosso caso, identifiquemos
,
e
.
Passo 3
Aplicando diretamente essa propriedade ao produto
, obtemos
Mas
. Portanto,
Passo 4
Usamos agora a distributividade da multiplicação sobre a soma:
Como
e
, isso se simplifica para
Como a soma de matrizes é comutativa, concluímos