Sejam A e B matrizes de tamanho n \times n. Prove o seguinte:
\left[A(A+B)^{-1} B\right]^{-1}=A^{-1}+B^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dadas matrizes quadradas A e B invertíveis, vale
\bigl[A(A+B)^{-1}B\bigr]^{-1} \;=\; A^{-1} + B^{-1}.
O conteúdo principal que vamos usar é a propriedade de inversão de produto de matrizes e a distributividade da multiplicação sobre a soma.

Passo 2

Lembramos que, para quaisquer matrizes invertíveis X,Y,Z de dimensões compatíveis, vale
(XYZ)^{-1} \;=\; Z^{-1}\,Y^{-1}\,X^{-1}.
No nosso caso, identifiquemos X=A, Y=(A+B)^{-1} e Z=B.

Passo 3

Aplicando diretamente essa propriedade ao produto A\,(A+B)^{-1}\,B, obtemos
\bigl[A(A+B)^{-1}B\bigr]^{-1} = B^{-1}\,\bigl[(A+B)^{-1}\bigr]^{-1}\,A^{-1}.
Mas \bigl[(A+B)^{-1}\bigr]^{-1}=A+B. Portanto,
\bigl[A(A+B)^{-1}B\bigr]^{-1} = B^{-1}\,(A+B)\,A^{-1}.

Passo 4

Usamos agora a distributividade da multiplicação sobre a soma:
B^{-1}(A+B)A^{-1} = B^{-1}A\,A^{-1} \;+\; B^{-1}B\,A^{-1}.
Como A\,A^{-1}=I e B^{-1}B=I, isso se simplifica para
B^{-1} + A^{-1}.
Como a soma de matrizes é comutativa, concluímos
B^{-1} + A^{-1} = A^{-1} + B^{-1}.

Resposta

\bigl[A(A+B)^{-1}B\bigr]^{-1} = A^{-1} + B^{-1}.

Exercícios relacionados