Sejam a, b >= 0. Mostre que lim (x, y) (0,0) x^a y^bx^2+y^2=0 se a+b>2 e que o limite não existe se a+b <= 2.

Passo 1

O enunciado pede para estudar o comportamento de
f(x,y)=x^a y^bx^2+y^2
quando (x,y)to(0,0), sabendo que a,b>=0. Precisamos usar coordenadas polares para transformar a expressão e aplicar definições de limite em varias direções: se a+b>2 mostrar que f(x,y)to0; se a+b<=2 mostrar que o valor depende do caminho, logo não existe limite.

Passo 2

Para a+b>2 usamos x= r\cosθ, y= r\sinθ. Então
|x^a y^bx^2+y^2| =r^a+b|cos^aθsin^bθ|r^2 =r^a+b-2|cos^aθsin^bθ| <= r^a+b-2
Como a+b-2>0, quando rto0 temos r^a+b-2to0. Logo f(x,y)to0.

Passo 3

Se a+b=2, pela mesma troca em polares
f(r,θ)=cos^aθsin^bθ
que não depende de r. Em particular, ao longo de y=0 (θ=0) temos f=0, mas ao longo de y=x (θ=π/4) aparece
f=l(tfrac1raiz2r)^al(tfrac1raiz2r)^b=2^-a+b2=2^-1>0
Como limites diferentes em direções distintas, não existe limite.

Passo 4

Se a+b<2, em coordenadas polares obtemos
|f(r,θ)|=r^a+b-2|cos^aθsin^bθ|,
com expoente a+b-2<0, de modo que em direções como θ=π/4 temos
|f(r,π/4)|=r^a+b-22^-a+b2to+infty
enquanto em θ=0 (se b>0) aparece f=0. De novo, percursos distintos dão comportamentos distintos, então o limite não existe.

Resposta

O limite é 0 se e somente se a+b>2. Se a+b<=2, o limite não existe.

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