Sejam . Mostre que se e que o limite não existe se .
Passo 1
O enunciado pede para estudar o comportamento de
quando , sabendo que . Precisamos usar coordenadas polares para transformar a expressão e aplicar definições de limite em varias direções: se mostrar que ; se mostrar que o valor depende do caminho, logo não existe limite.
Passo 2
Para usamos x= r\cosθ, y= r\sinθ. Então
Como a+b-2>0, quando rto0 temos r^a+b-2to0. Logo f(x,y)to0.
Passo 3
Se a+b=2, pela mesma troca em polares
f(r,θ)=cos^aθsin^bθ
que não depende de r. Em particular, ao longo de y=0 (θ=0) temos f=0, mas ao longo de y=x (θ=π/4) aparece