Sejam a, b números inteiros quaisquer. Mostre que a^{2}-a b+b^{2} \geq 0.

Passo 1

O enunciado dá dois números inteiros quaisquer e pede para mostrar que a expressão \,a^{2}-ab+b^{2}\, é sempre não negativa.
Informações relevantes:
  • Os números a e b são inteiros (podem ser tratados também como números reais para esta desigualdade).
  • O objetivo é provar que
a^{2}-ab+b^{2}\ge 0
para todo par (a,b).

Passo 2

Uma ideia básica que vamos usar: o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo. Ou seja, para todo x\in\mathbb{R} vale
x^{2}\ge 0.
Isso vem da definição de quadrado (multiplicação de x por si mesmo): seja x\ge0 então x^{2}\ge0; se x<0 então x^{2}=(-x)^{2}\ge0. Exemplos rápidos: (1)^{2}=1\ge0, (-2)^{2}=4\ge0.

Passo 3

Vamos escrever a expressão dada como média (ou soma) de quadrados, para poder usar o fato acima. Começo calculando a soma de três quadrados:
(a-b)^{2}+a^{2}+b^{2}.
Desenvolvendo (a-b)^{2} obtemos
(a-b)^{2}+a^{2}+b^{2} = (a^{2}-2ab+b^{2})+a^{2}+b^{2}.
Somando os termos semelhantes:
(a-b)^{2}+a^{2}+b^{2} = 2a^{2}-2ab+2b^{2} = 2\bigl(a^{2}-ab+b^{2}\bigr).

Passo 4

Da igualdade do Passo 3 temos
2\bigl(a^{2}-ab+b^{2}\bigr) = (a-b)^{2}+a^{2}+b^{2}.
Como cada termo do lado direito é um quadrado, todos são maiores ou iguais a zero por causa do Passo 2. Portanto o lado direito é não negativo, e dividindo por 2>0 obtemos
a^{2}-ab+b^{2}\ge 0,
o que prova a desigualdade pedida.

Passo 5

Condição de igualdade (quando a expressão vale zero). A partir de
2\bigl(a^{2}-ab+b^{2}\bigr) = (a-b)^{2}+a^{2}+b^{2},
para que a^{2}-ab+b^{2}=0 é necessário e suficiente que (a-b)^{2}=0, a^{2}=0 e b^{2}=0 simultaneamente. Isso implica a-b=0, a=0 e b=0, logo a=b=0. Portanto a expressão só é zero no caso a=b=0; para quaisquer outros inteiros o valor é estritamente positivo.

Passo 6

(Bônus — método alternativo, útil em provas) Podemos também completar quadrado: escrever
a^{2}-ab+b^{2}=\left(a-\tfrac{b}{2}\right)^{2}+3\left(\tfrac{b}{2}\right)^{2}.
Para ver isso desenvolve-se o primeiro termo:
\left(a-\tfrac{b}{2}\right)^{2}=a^{2}-ab+\tfrac{b^{2}}{4},
somando 3\left(\tfrac{b}{2}\right)^{2}=\tfrac{3b^{2}}{4} obtém-se a^{2}-ab+b^{2}. Como soma de quadrados, cada parcela é não negativa, dando a mesma conclusão. Esse formato às vezes é mais direto para ver positividade.

Resposta

\forall a,b\in\mathbb{Z},\;a^{2}-ab+b^{2}\ge 0 (igualdade só se a=b=0).

Exercícios relacionados