Sejam
números inteiros quaisquer. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá dois números inteiros quaisquer e pede para mostrar que a expressão
é sempre não negativa.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Os números
e são inteiros (podem ser tratados também como números reais para esta desigualdade). - O objetivo é provar que
para todo par
.
Passo 2
Uma ideia básica que vamos usar: o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo. Ou seja, para todo
vale
Isso vem da definição de quadrado (multiplicação de
por si mesmo): seja
então
; se
então
. Exemplos rápidos:
,
.
Passo 3
Vamos escrever a expressão dada como média (ou soma) de quadrados, para poder usar o fato acima. Começo calculando a soma de três quadrados:
Desenvolvendo
obtemos
Somando os termos semelhantes:
Passo 4
Da igualdade do Passo 3 temos
Como cada termo do lado direito é um quadrado, todos são maiores ou iguais a zero por causa do Passo 2. Portanto o lado direito é não negativo, e dividindo por
obtemos
o que prova a desigualdade pedida.
Passo 5
Condição de igualdade (quando a expressão vale zero). A partir de
para que
é necessário e suficiente que
,
e
simultaneamente. Isso implica
,
e
, logo
. Portanto a expressão só é zero no caso
; para quaisquer outros inteiros o valor é estritamente positivo.
Passo 6
(Bônus — método alternativo, útil em provas) Podemos também completar quadrado: escrever
Para ver isso desenvolve-se o primeiro termo:
somando
obtém-se
. Como soma de quadrados, cada parcela é não negativa, dando a mesma conclusão. Esse formato às vezes é mais direto para ver positividade.