Usando os axiomas e as propriedades apresentadas sobre mathbb{Z}, explique por que:
A equação x^{2}+4=0 não tem solução inteira.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a equação \,x^{2}+4=0\, e pede para mostrar que não existe solução com x\in\mathbb{Z}.
  • Informação relevante: x deve ser um número inteiro. Nada mais foi dado.

Passo 2

Propriedade básica dos inteiros que vamos usar (explicada de forma simples):
  • Para qualquer inteiro \,x\, vale que \,x^{2}\ge 0\,.
    Explicação: se \,x\ge 0\, então \,x^{2}\ge 0\, porque produto de não-negativos é não-negativo; se \,x<0\, então \,(-x)>0\, e \,x^{2}=(-x)^{2}\ge 0\,. Assim, qualquer quadrado inteiro é um número inteiro não-negativo.

Passo 3

Aplicando a propriedade à equação:
  • Como \,x^{2}\ge 0\, para todo inteiro \,x, temos
x^{2}+4 \ge 0 + 4 = 4.
  • Logo \,x^{2}+4 é sempre maior ou igual a 4; portanto não pode ser igual a 0.

Passo 4

Conclusão direta:
  • A desigualdade \,x^{2}+4\ge 4>0\, mostra que não existe inteiro \,x\, tal que \,x^{2}+4=0. Assim, a equação não tem solução inteira.

Passo 5

(Prova alternativa, útil para treino: argumento por classe de resto módulo 4.)
  • Todo inteiro é par ou ímpar. Se x é par, x=2k e x^{2}=4k^{2}\equiv 0\pmod{4}. Se x é ímpar, x=2k+1 e
x^{2}=(2k+1)^{2}=4k(k+1)+1\equiv 1\pmod{4}.
  • Portanto, para qualquer inteiro x, x^{2}\equiv 0 ou 1\pmod{4}.
  • Se existisse x\in\mathbb{Z} com x^{2}+4=0, então x^{2}\equiv 0\pmod{4} (porque 4\equiv 0\pmod{4}). Assim x seria par, x=2k. Substituindo,
4k^{2}+4=0 \implies k^{2}+1=0 \implies k^{2}=-1,
o que é impossível em \mathbb{Z} porque k^{2}\ge 0. Contradição. Logo não existe solução inteira.

Resposta

A equação x^{2}+4=0 não tem solução inteira.

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