Usando os axiomas e as propriedades apresentadas sobre
, explique por que:
A equação
não tem solução inteira.
A equação
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá a equação
e pede para mostrar que não existe solução com . - Informação relevante:
deve ser um número inteiro. Nada mais foi dado.
Passo 2
Propriedade básica dos inteiros que vamos usar (explicada de forma simples):
- Para qualquer inteiro
vale que .
Explicação: seentão porque produto de não-negativos é não-negativo; se então e . Assim, qualquer quadrado inteiro é um número inteiro não-negativo.
Passo 3
Aplicando a propriedade à equação:
- Como
para todo inteiro , temos
- Logo
é sempre maior ou igual a ; portanto não pode ser igual a .
Passo 4
Conclusão direta:
- A desigualdade
mostra que não existe inteiro tal que . Assim, a equação não tem solução inteira.
Passo 5
(Prova alternativa, útil para treino: argumento por classe de resto módulo
.)
- Todo inteiro é par ou ímpar. Se
é par, e . Se é ímpar, e
- Portanto, para qualquer inteiro
, ou . - Se existisse
com , então (porque ). Assim seria par, . Substituindo,
o que é impossível em
porque
. Contradição. Logo não existe solução inteira.
Resposta
A equação
não tem solução inteira.