Sejam a e b números naturais, determine o valor de a+b, tal que \{0,1,2\}=\{2, a, b\}.

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade de conjuntos
\{0,1,2\}=\{2,a,b\},
onde a e b são números naturais. A pergunta é: determinar o valor de a+b.
Listei o que o problema fornece:
  • O conjunto à esquerda contém exatamente os elementos 0, 1 e 2.
  • O conjunto à direita contém exatamente os elementos 2, a e b.
  • A igualdade de conjuntos significa que ambos os conjuntos têm exatamente os mesmos elementos (sem considerar ordem ou repetição).

Passo 2

Explicação direta sobre igualdade de conjuntos (passo didático): quando dizemos que dois conjuntos são iguais, por definição cada elemento de um está no outro e vice-versa. Em símbolos:
X=Y \quad\Longleftrightarrow\quad (\forall x,\; x\in X \iff x\in Y).
Isso implica que a coleção de elementos distintos em \{0,1,2\} deve coincidir com a coleção de elementos distintos em \{2,a,b\}.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso: como \{0,1,2\} tem exatamente os elementos 0, 1 e 2, o conjunto \{2,a,b\} precisa conter exatamente esses três elementos também. Observação imediata: o elemento 2 já aparece em ambos os lados, então os elementos restantes que devem aparecer em \{2,a,b\} são 0 e 1.

Passo 4

Raciocínio sobre possibilidades: os símbolos a e b representam números naturais que, juntos com o 2 já presente, formam o conjunto \{0,1,2\}. Como conjuntos não consideram ordem nem repetição, as únicas maneiras de ter os três elementos 0,1,2 são que \{a,b\}=\{0,1\}. Não é possível que a ou b sejam outro número fora de \{0,1,2\}, pois então algum elemento de \{0,1,2\} ficaria de fora; também não serve ter ambos iguais a 2, pois faltariam 0 e 1.

Passo 5

Concluir os valores possíveis: portanto os valores de a e b são, em alguma ordem, 0 e 1. Ou seja, um é 0 e o outro é 1.

Passo 6

Calcular a soma pedida. Se a e b são 0 e 1 em alguma ordem, então
a+b = 0+1 = 1.

Resposta

1

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