Dado o conjunto
, liste todos os subconjuntos de
formados por:
3 elementos.
3 elementos.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para listar todos os subconjuntos de
que têm exatamente 3 elementos.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- O conjunto inicial é
. - Deve-se listar todos os subconjuntos de
com cardinalidade (ou seja, contendo exatamente 3 elementos).
Passo 2
O que é um subconjunto com 3 elementos? É uma seleção de 3 elementos de
em que a ordem não importa: por exemplo,
e
representam o mesmo subconjunto.
Quantos subconjuntos de 3 elementos existem em um conjunto com 4 elementos? Usa-se a fórmula de combinação:
Quantos subconjuntos de 3 elementos existem em um conjunto com 4 elementos? Usa-se a fórmula de combinação:
onde
é o número de elementos do conjunto e
é o número de elementos escolhidos. Aqui
e
, então
Portanto esperam-se exatamente
subconjuntos de 3 elementos.
Passo 3
Uma forma prática e sistemática de listar todas as combinações é: para cada escolha, decidir qual elemento fica de fora (escolher o elemento excluído) — escolher 3 de 4 é equivalente a escolher 1 para excluir. Excluindo cada elemento distinto obtemos um subconjunto distinto. Vou aplicar essa ideia.
Passo 4
Excluir
dá o subconjunto formado pelos demais:
.
Excluir dá o subconjunto formado pelos demais:
.
Excluir dá o subconjunto formado pelos demais:
.
Excluir dá o subconjunto formado pelos demais:
.
Verificação: obtivemos subconjuntos distintos, que coincide com o valor de
, então a listagem está completa e sem repetições.
Excluir
Excluir
Excluir
Verificação: obtivemos