Sejam
numeros positivos. Mostre que a equação
tem pelo menos uma solução no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
, com
, tem pelo menos uma raiz em
. O conteúdo principal é o Teorema do Valor Intermediário (Bolzano) aplicado a funções contínuas num intervalo.
Passo 2
Definimos a função
por
Ela é bem definida e contínua em
, pois não atinge os pontos de descontinuidade
ou
no interior do intervalo.
Passo 3
Analisamos o comportamento de
quando
se aproxima de 1 pela direita. Como
, temos
enquanto
permanece finito. Logo,
Passo 4
Agora avaliamos o comportamento de
quando
se aproxima de 3 pela esquerda. Como
,
enquanto
permanece finito e positivo. Portanto,
Passo 5
Como
é contínua em
e varia de
em
para
em
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe
tal que $f(x_0)=0.
Resposta
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma solução
de
.