Sejam a, b numeros positivos. Mostre que a equação ax-1+bx-3=0 tem pelo menos uma solução no intervalo (1,3).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação ax-1+bx-3=0, com a,b>0, tem pelo menos uma raiz em (1,3). O conteúdo principal é o Teorema do Valor Intermediário (Bolzano) aplicado a funções contínuas num intervalo.

Passo 2

Definimos a função fcolon(1,3)toR por
f(x)=ax-1+bx-3
Ela é bem definida e contínua em (1,3), pois não atinge os pontos de descontinuidade x=1 ou x=3 no interior do intervalo.

Passo 3

Analisamos o comportamento de f(x) quando x se aproxima de 1 pela direita. Como a>0, temos
limxto1^+ ax-1=+infty,
enquanto bx-3 permanece finito. Logo,
limxto1^+ f(x)=+infty

Passo 4

Agora avaliamos o comportamento de f(x) quando x se aproxima de 3 pela esquerda. Como b>0,
limxto3^- bx-3) =-infty,
enquanto ax-1 permanece finito e positivo. Portanto,
limxto3^- f(x)=-infty

Passo 5

Como f é contínua em (1,3) e varia de +infty em xto1^+ para -infty em xto3^-, pelo Teorema do Valor Intermediário existe x0in(1,3) tal que $f(x_0)=0.

Resposta

Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma solução x0in(1,3) de ax-1+bx-3=0.

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