Calcule, se existir, o limite da sequência
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite da sequência $ a_{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n} $. Isso está relacionado ao estudo de limites em sequências, especificamente envolvendo exponenciais. Vamos usar algumas propriedades de limites e a definição do número $ e $ para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma fórmula importante:
. Essa é a definição do número $ e $, que é aproximadamente 2.71828.
Passo 3
No nosso caso, a sequência é $ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n} $. Podemos reescrever isso da seguinte forma:
Passo 4
Agora, usando a propriedade que mencionei no Passo 2, sabemos que:
Então, elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 5
Portanto, o limite da sequência $ a_{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n} $ é $ e^2 $.
Resposta
O limite da sequência é $ e^{2} $.