Calcule, se existir, o limite da sequência an=(1+1n)^2 n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite da sequência $ a_{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n} $. Isso está relacionado ao estudo de limites em sequências, especificamente envolvendo exponenciais. Vamos usar algumas propriedades de limites e a definição do número $ e $ para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma fórmula importante: limn to infty (1 + 1n)^n = e. Essa é a definição do número $ e $, que é aproximadamente 2.71828.

Passo 3

No nosso caso, a sequência é $ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n} $. Podemos reescrever isso da seguinte forma:
(1 + 1n)^2n

Passo 4

Agora, usando a propriedade que mencionei no Passo 2, sabemos que:
limn to infty (1 + 1n)^n = e
Então, elevando ambos os lados ao quadrado:
limn to infty [(1 + 1n)^n]^2 = e^2

Passo 5

Portanto, o limite da sequência $ a_{n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n} $ é $ e^2 $.

Resposta

O limite da sequência é $ e^{2} $.

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