Sejam x, y in R. Usando as propriedades dos números reais relativas às operações de soma e multiplicação, prove que:
d) x cdot(-y)=(-x) cdot y=-(x cdot y)

Passo 1

Resumo: temos x,yinR e queremos provar que xcdot(-y)=(-x)cdot y=-(xcdot y). Vamos usar as propriedades de inverso aditivo, distributiva e unicidade do inverso no conjunto dos reais.

Passo 2

Mostramos que xcdot(-y)=-(xcdot y). Como (-y)+y=0, multiplicando por x e aplicando distributiva fica xcdot(-y)+xcdot y = xcdot 0. Como xcdot 0=0, temos xcdot(-y)+xcdot y = 0. Logo xcdot(-y) é o inverso aditivo de xcdot y, ou seja xcdot(-y) = -(xcdot y).

Passo 3

De maneira análoga, para (-x)cdot y usamos (-x)+x=0. Multiplicando por y e distribuindo, (-x)cdot y + xcdot y = 0cdot y. Como 0cdot y=0, obtemos (-x)cdot y + xcdot y = 0, logo (-x)cdot y = -(xcdot y).

Passo 4

Concluímos que tanto xcdot(-y) quanto (-x)cdot y são iguais a -(xcdot y), o que implica xcdot(-y)=(-x)cdot y=-(xcdot y).

Resposta

xcdot(-y)=(-x)cdot y=-(xcdot y)

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