Sejam a e b números reais, com b neq 0 e f: R R dada por f(x)=a cdot sen(x)+b cdot cos (x).
Seja x1 uma raiz de f(x), isto é, f(x1)=0. Sabendo que cos (x1) neq 0, mostre que tan (x1) é raiz da reta g(x)=a x+b.

Passo 1

O enunciado diz que temos a função f(x)=asin(x)+bcos(x), com bneq0, e que x1 é raiz de f, ou seja f(x1)=0, além de sabermos que cos(x1)neq0. O objetivo é mostrar que tan(x1) anula a reta g(x)=a,x+b.

Passo 2

Como x1 é raiz de f, temos
a,sin(x1)+b,cos(x1)=0

Passo 3

Para transformar essa equação em algo envolvendo tan(x1), usamos que cos(x1)neq0, então podemos dividir ambos os lados por cos(x1). Lembrando que tan(x1)=sin(x1)cos(x1), obtemos:
a,sin(x1)cos(x1)+b=0Longrightarrow a,tan(x1)+b=0

Passo 4

A expressão acima mostra exatamente que g(tan(x1))=a,tan(x1)+b=0, ou seja, tan(x1) é raiz de g.

Resposta

tan(x1) é raiz de g(x)=a,x+b, pois g(tan(x1))=0.

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