Verifique se a seguinte equação diferencial é exata e resolva a que for:
x e^x y d x+y e^x y d y=0

Passo 1

Vamos verificar a exatidão da equação diferencial e, se não for exata, ver como torná-la exata usando um fator integrante.

Passo 2

Identificamos as funções
M(x,y)=x e^{xy} e N(x,y)=y e^{xy}. Para testar a exatidão, calculamos as derivadas parciais:
∂M/∂y = x·(∂/∂y)e^{xy} = x·(x e^{xy}) = x^2 e^{xy},
∂N/∂x = y·(∂/∂x)e^{xy} = y·(y e^{xy}) = y^2 e^{xy}.
Como ∂M/∂y ≠ ∂N/∂x, a equação não é exata.

Passo 3

Observamos que o fator comum e^{xy} é sempre diferente de zero. Então podemos dividir toda a equação por e^{xy} (isto equivale a usar o fator integrante μ(x,y)=e^{-xy}). Fazendo isso, obtemos:
x,dx + y,dy = 0
Essa nova equação é exata (e na verdade separável).

Passo 4

Para resolver x,dx + y,dy = 0, podemos notar que é o diferencial exato de uma função φ(x,y). Basta integrar em relação a x e y:
φ(x,y)=integral x,dx + integral y,dy = x^22 + y^22 + C

Passo 5

A condição implícita φ(x,y)=constante nos dá a solução geral da equação diferencial original. Mantendo C̃=2C, escrevemos:

Resposta

x^2 + y^2 = C̃

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