Use a integral indefinida para encontrar uma solução explicita para os problemas do valor inicial nos itens (a)-©.
d y / d x=e^x^2,
y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução explícita do problema de valor inicial tfracdydx=e^x^2 com y(0)=0. O conteúdo aqui é integrar uma EDO de primeira ordem sem dependência de y, usando integral indefinida.

Passo 2

A gente prepara a EDO para integração direta: escrevemos tfracdydx=e^x^2 como dy=e^x^2,dx e integra ambos os lados.
Integrando, obtemos a forma geral da solução:
y(x)=integral e^x^2,dx + C

Passo 3

Aqui notamos que integral e^x^2,dx não tem antiderivada elementar, então a gente define a solução particular via integral de 0 até x e incorpora a constante.
Aplicando a condição inicial y(0)=0, escolhemos
y(x)=integral0^xe^t^2,dt

Passo 4

Essa escolha já satisfaz y(0)=0 sem precisar de constante extra.

Resposta

A solução explícita é y(x)=integral0^xe^t^2,dt, que também pode ser escrita em termos da função erro imaginária como y(x)=tfracraizpi2,erfi(x).

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