Sejam A=\{0\} e B=\{\{0\}, 1\}.
(a) (1 pt) É correto dizer que A \in B ? E que A \subseteq B ? Justifique sua resposta.
(b) ( \mathbf{1} pt) Determine A \cap B, A \cup B, \wp(A) \cap B e \wp(A)-B.

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos
A=\{0\} \qquad\text{e}\qquad B=\{\{0\},\,1\}.
As perguntas são:
(a) É correto afirmar que \;A\in B\;? E que \;A\subseteq B\;? Justificar.
(b) Determinar \;A\cap B,\;A\cup B,\;\wp(A)\cap B\; e \;\wp(A)-B\;.
Informações relevantes que já temos (tiradas do enunciado):
  • O conjunto A tem exatamente um elemento: o número 0.
  • O conjunto B tem dois elementos: o conjunto \{0\} e o elemento 1.
  • Lembrar: \wp(A) significa o conjunto de todas as partes (subconjuntos) de A.

Passo 2

Entender a diferença entre “ser elemento de” e “ser subconjunto de” — isso é crucial.
  • Definição de pertencimento: para um conjunto X e um objeto y, diz-se y\in X se y aparece como um elemento da lista que descreve X. Por exemplo, se X=\{a,b\} então a\in X e b\in X.
  • Definição de subconjunto: para conjuntos X e Y, diz-se X\subseteq Y quando todo elemento de X também é elemento de Y. Em símbolos: X\subseteq Y signifie que para todo x, se x\in X então x\in Y.
Observação importante (muito usada em exercícios): um conjunto pode aparecer como elemento de outro conjunto (por exemplo \{0\}\in B) sem que seus elementos (por exemplo 0) sejam elementos do conjunto maior (por exemplo 0\notin B pode acontecer). Portanto atenção à distinção entre 0 e \{0\}: são objetos diferentes.

Passo 3

Aplicando as definições ao item (a).
  • Para verificar \;A\in B\;: comparar A com os elementos de B. O enunciado diz que B=\{\{0\},\,1\}. Um dos elementos de B é exatamente \{0\}. Mas A=\{0\}. Logo A coincide com o elemento \{0\} de B. Portanto
A\in B.
  • Para verificar \;A\subseteq B\;: precisamos checar se todo elemento de A é elemento de B. O único elemento de A é 0. Logo perguntamos: 0\in B ? Os elementos de B são \{0\} e 1. Nem \{0\} nem 1 são iguais a 0. Em particular 0\neq\{0\} e 0\neq1. Portanto 0\notin B. Como existe um elemento de A que não está em B, conclui-se que
A\not\subseteq B.

Passo 4

Calcular \wp(A) porque é necessário para (b).
  • Lembrete: \wp(A) é o conjunto de todos os subconjuntos de A.
  • Como A=\{0\}, seus subconjuntos são apenas dois: o conjunto vazio \varnothing e o próprio A=\{0\}.
    Logo
\wp(A)=\{\varnothing,\{0\}\}.

Passo 5

Calcular \;A\cap B\;.
  • Definição: A\cap B é o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B.
  • Os elementos de A são: 0.
  • Os elementos de B são: \{0\} e 1.
  • O elemento 0 não pertence a B (já visto no Passo 3). Portanto não há elementos em comum.
    Logo
A\cap B=\varnothing.

Passo 6

Calcular \;A\cup B\;.
  • Definição: A\cup B é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou a B (ou a ambos).
  • Elementos de A: 0.
  • Elementos de B: \{0\} e 1.
  • Colocando todos juntos, sem repetir, obtemos os três elementos distintos 0, \{0\} e 1.
    Portanto
A\cup B=\{\,0,\;\{0\},\;1\,\}.

Passo 7

Calcular \;\wp(A)\cap B\;.
  • Já sabemos \wp(A)=\{\varnothing,\{0\}\} (Passo 4) e B=\{\{0\},1\}.
  • A interseção toma os elementos que aparecem em ambos os conjuntos.
  • O elemento \{0\} está em \wp(A) e também em B, enquanto \varnothing não está em B e 1 não está em \wp(A).
    Logo
\wp(A)\cap B=\{\{0\}\}.

Passo 8

Calcular \;\wp(A)-B\; (diferença de conjuntos).
  • Definição: \wp(A)-B é o conjunto dos elementos de \wp(A) que não pertencem a B.
  • Os elementos de \wp(A) são \varnothing e \{0\}. Desses, \{0\}\in B (Passo 3) e \varnothing\notin B.
  • Então o único elemento de \wp(A) que não está em B é \varnothing.
    Portanto
\wp(A)-B=\{\varnothing\}.

Resposta

(a) A\in B: Sim. \;A\subseteq B: Não.
(b) A\cap B=\varnothing
A\cup B=\{\,0,\;\{0\},\;1\,\}
\wp(A)\cap B=\{\{0\}\}
\wp(A)-B=\{\varnothing\}

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