Sejam
e
.
(a) (1 pt) É correto dizer que
? E que
? Justifique sua resposta.
(b) (
pt) Determine
e
.
(a) (1 pt) É correto dizer que
(b) (
Passo 1
O enunciado dá os conjuntos
As perguntas são:
(a) É correto afirmar que ? E que
? Justificar.
(b) Determinar e
.
(a) É correto afirmar que
(b) Determinar
Informações relevantes que já temos (tiradas do enunciado):
- O conjunto
tem exatamente um elemento: o número . - O conjunto
tem dois elementos: o conjunto e o elemento . - Lembrar:
significa o conjunto de todas as partes (subconjuntos) de .
Passo 2
Entender a diferença entre “ser elemento de” e “ser subconjunto de” — isso é crucial.
- Definição de pertencimento: para um conjunto
e um objeto , diz-se se aparece como um elemento da lista que descreve . Por exemplo, se então e . - Definição de subconjunto: para conjuntos
e , diz-se quando todo elemento de também é elemento de . Em símbolos: signifie que para todo , se então .
Observação importante (muito usada em exercícios): um conjunto pode aparecer como elemento de outro conjunto (por exemplo
) sem que seus elementos (por exemplo
) sejam elementos do conjunto maior (por exemplo
pode acontecer). Portanto atenção à distinção entre
e
: são objetos diferentes.
Passo 3
Aplicando as definições ao item (a).
- Para verificar
: comparar com os elementos de . O enunciado diz que . Um dos elementos de é exatamente . Mas . Logo coincide com o elemento de . Portanto
- Para verificar
: precisamos checar se todo elemento de é elemento de . O único elemento de é . Logo perguntamos: ? Os elementos de são e . Nem nem são iguais a . Em particular e . Portanto . Como existe um elemento de que não está em , conclui-se que
Passo 4
Calcular
porque é necessário para (b).
- Lembrete:
é o conjunto de todos os subconjuntos de . - Como
, seus subconjuntos são apenas dois: o conjunto vazio e o próprio .
Logo
Passo 5
Calcular
.
- Definição:
é o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a e a . - Os elementos de
são: . - Os elementos de
são: e . - O elemento
não pertence a (já visto no Passo 3). Portanto não há elementos em comum.
Logo
Passo 6
Calcular
.
- Definição:
é o conjunto de todos os elementos que pertencem a ou a (ou a ambos). - Elementos de
: . - Elementos de
: e . - Colocando todos juntos, sem repetir, obtemos os três elementos distintos
, e .
Portanto
Passo 7
Calcular
.
- Já sabemos
(Passo 4) e . - A interseção toma os elementos que aparecem em ambos os conjuntos.
- O elemento
está em e também em , enquanto não está em e não está em .
Logo
Passo 8
Calcular
(diferença de conjuntos).
- Definição:
é o conjunto dos elementos de que não pertencem a . - Os elementos de
são e . Desses, (Passo 3) e . - Então o único elemento de
que não está em é .
Portanto
Resposta
(a)
: Sim.
: Não.
(b)
(b)