1. Sejam a e b números reais. Mostre que se a<b, então a<\frac{a+b}{2}<b.

Passo 1

O enunciado nos dá dois números reais a e b tais que a<b, e pede para mostrar que a média aritmética \frac{a+b}{2} fica estritamente entre a e b. Vamos usar propriedades básicas de desigualdades: somar a mesma quantidade em ambos os termos e dividir por um número positivo preserva a desigualdade.

Passo 2

Partindo de
a < b,
somamos a a ambos os lados. Como somar o mesmo número em ambos os lados de uma desigualdade não altera a relação, obtemos
a + a < a + b \quad\Longrightarrow\quad 2a < a + b.
Dividindo por 2>0 (dividir por número positivo mantém a desigualdade), vem
a < \frac{a + b}{2}.

Passo 3

Ainda a partir de
a < b,
somamos b a ambos os lados, resultando em
a + b < b + b \quad\Longrightarrow\quad a + b < 2b.
Dividindo por 2>0 obtemos
\frac{a + b}{2} < b.

Passo 4

Combinando as duas desigualdades encontradas, temos
a < \frac{a + b}{2} \quad\text{e}\quad \frac{a + b}{2} < b,
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a < \frac{a + b}{2} < b.

Resposta

a<\tfrac{a+b}{2}<b.

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