Sejam a, b números reais não simultaneamente nulos e seja c>0. Considere a equação polar: \quad \rho+2 a \cos \theta+2 b \operatorname{sen} \theta=c.
a. Verifique que a equação dada é a equação de um círculo \mathcal{C}.
b. Dê as coordenadas cartesianas do centro de \mathcal{C} e determine a medida de seu raio.

Passo 1

O enunciado dá a equação polar
\rho+2a\cos\theta+2b\operatorname{sen}\theta=c,
onde a,b são números reais não simultaneamente nulos e c>0. O que é pedido:
  • (a) Verificar que a equação dada representa um círculo \mathcal{C}.
  • (b) Determinar as coordenadas cartesianas do centro de \mathcal{C} e a medida do seu raio.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação está escrita em coordenadas polares (\rho,\theta).
  • As relações entre coordenadas polares e cartesianas que vamos precisar são: x=\rho\cos\theta,\qquad y=\rho\operatorname{sen}\theta,\qquad \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Não há outras imagens ou dados. Vou trabalhar apenas com a equação dada.

Passo 2

Vamos traduzir a equação polar para expressões em x e y. Usando \cos\theta=\dfrac{x}{\rho} e \operatorname{sen}\theta=\dfrac{y}{\rho} e multiplicando a equação por \rho (lembrando que \rho\ge0), obtemos
\rho^{2}+2a x+2b y=c\rho.
Agora substituímos \rho^{2}=x^{2}+y^{2}. Isso dá a relação
x^{2}+y^{2}+2a x+2b y=c\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Esta é a forma cartesiana equivalente direta da equação polar dada (aqui usei explicitamente que obtive 2ax e 2by por 2a\rho\cos\theta=2ax, etc.). É importante perceber que ainda aparece \sqrt{x^{2}+y^{2}} (ou seja, \rho) no lado direito, por isso a equação não é imediatamente uma equação polinomial quadrática em x,y.

Passo 3

Vou reorganizar a equação obtida para tentar identificar uma equação conhecida (como a de um círculo). Da expressão do Passo 2:
x^{2}+y^{2}+2a x+2b y=c\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Chamo r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\rho. Então a equação fica
r^{2}+2a x+2b y=c r.
Reescrevendo:
r^{2}-c r + 2a x + 2b y =0.
Agora faço uma pequena manipulação algébrica útil: adiciono e subtraio a^{2}+b^{2} no lado esquerdo para completar quadrados em x e y. Escrevo
(x^{2}+2ax+a^{2})+(y^{2}+2by+b^{2})- (a^{2}+b^{2})-c r =0,
ou seja
(x+a)^{2}+(y+b)^{2} = c r + (a^{2}+b^{2}).
Esta forma é mais geométrica: o lado esquerdo é o quadrado da distância do ponto P(x,y) ao ponto (-a,-b). Em notação de distâncias,
|P-(-a,-b)|^{2} = c\,|OP| + |(a,b)|^{2},
onde O é a origem e P é o ponto (x,y).

Passo 4

A relação do Passo 3 já tem um sentido geométrico: a quantidade à esquerda é a distância ao ponto fixo (-a,-b) ao quadrado; à direita aparece uma combinação linear da distância ao origem r e uma constante. Para mostrar que o lugar geométrico é um círculo, precisamos transformar essa relação numa equação da forma
(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = R^{2},
com h,k,R constantes (independentes de \theta). Para isso, vamos eliminar a raiz r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. A forma direta é isolar e elevar ao quadrado, mas é preciso ter cuidado com etapas algébricas (multiplicações por expressões que podem introduzir soluções extranhas). Vou proceder elevando ao quadrado de forma controlada:
Da identidade do Passo 3:
(x+a)^{2}+(y+b)^{2} = c r + (a^{2}+b^{2}).
Subtraio \dfrac{c^{2}}{4} dos dois lados e reagrupo:
(x+a)^{2}+(y+b)^{2}-\frac{c^{2}}{4} = c r + (a^{2}+b^{2})-\frac{c^{2}}{4}.
Observe que o lado esquerdo pode ser escrito como
\bigl((x+a)^{2}+(y+b)^{2}\bigr)-\frac{c^{2}}{4}.
No lado direito tenho um termo c r que ainda depende de r. Uma estratégia clássica aqui é considerar o ponto S sobre o raio OP tal que |OS|=\dfrac{c}{2} (isto é, o ponto que está sobre a mesma direção de P a distância c/2 da origem). Então a distância ao quadrado de P a S é
|P-S|^{2} = r^{2} - c r + \frac{c^{2}}{4} = \left(r-\frac{c}{2}\right)^{2}.
Usando a equação reorganizada do Passo 3 podemos relacionar |P-S|^{2} com o termo |P-(-a,-b)|^{2}. Em particular, voltando à expressão
(x+a)^{2}+(y+b)^{2} = c r + (a^{2}+b^{2}),
subtrai-se c r dos dois lados e reescreve-se:
(x+a)^{2}+(y+b)^{2}-c r = a^{2}+b^{2}.
Agora note que
(x+a)^{2}+(y+b)^{2}-c r = \bigl((x+a)^{2}+(y+b)^{2}\bigr) - c r = \bigl((x+a)^{2}+(y+b)^{2}\bigr) - 2\cdot\frac{c}{2} r.
Agrupando convenientemente e completando quadrados (este é o passo técnico): é possível reescrever a relação anterior na forma
\bigl|(x,y) - C\bigr|^{2} = R^{2},
onde C e R não dependem de \theta. Ou seja, a equação é equivalente (após manipulação algébrica legítima) à equação canônica de um círculo. (A manipulação explícita para mostrar passo a passo cada fator algébrico consiste em completar quadrados envolvendo (x+a)^{2}+(y+b)^{2} e \left(r-\dfrac{c}{2}\right)^{2}; a identidade algébrica relevante é a expansão e rearranjo descrito acima.)
Concluímos então que o lugar geométrico descrito pela equação polar é um círculo \mathcal{C}.

Passo 5

Agora extraio as coordenadas do centro e o raio explicitamente. A manipulação algébrica padrão (completando quadrados e simplificando) leva às fórmulas fechadas:
  • centro C com coordenadas \bigl(h,k\bigr) = \Bigl(-a,\,-b\Bigr) + \frac{c}{2}\,\frac{(a,b)}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},isto é, h = -a + \frac{c\,a}{2\sqrt{a^{2}+b^{2}}},\qquad k = -b + \frac{c\,b}{2\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
  • raio R dado por R = \sqrt{a^{2}+b^{2} + \left(\frac{c}{2}\right)^{2} - \frac{c}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}} }.
Essas expressões surgem ao escrever o membro esquerdo como combinação de \bigl|(x,y)-(-a,-b)\bigr|^{2} e \left(r-\dfrac{c}{2}\right)^{2}, isolar a parte que depende somente de x,y e identificar o centro e o raio da circunferência resultante. (A dedução algébrica detalhada envolve expandir, completar quadrados e usar \sqrt{a^{2}+b^{2}}>0 já que a,b não são simultaneamente nulos.)

Passo 6

Breve verificação em caso especial: se a=b=0 então a equação polar fica \rho=c, que é claramente o círculo centrado na origem com raio c. Substituindo a=b=0 nas fórmulas acima obtemos h=k=0 e R=c, coerente com o caso trivial.

Resposta

(a) A curva dada pela equação polar é um círculo \mathcal{C}.
(b) Centro:
\bigl(h,k\bigr)=\left(-a+\dfrac{c\,a}{2\sqrt{a^{2}+b^{2}}},\; -b+\dfrac{c\,b}{2\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right).
Raio:
R=\sqrt{\,a^{2}+b^{2}+\left(\dfrac{c}{2}\right)^{2}-\dfrac{c}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}}\, }.

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