Use as relações de mudança de coordenadas polares para coordenadas cartesianas para obter a equação cartesiana correspondente a cada equação polar dada. Identifique o conjunto de pontos do plano definido em cada caso.
\operatorname{sec} ^{2} \theta-\operatorname{tg}^{2} \theta=1;

Passo 1

Vamos entender claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Enunciado: a equação polar é \operatorname{sec}^{2}\theta-\tan^{2}\theta=1.
  • O que se pede: obter a equação cartesiana correspondente e identificar o conjunto de pontos do plano determinado por essa equação.
  • Relações de mudança de coordenadas que vamos usar (pegue estas como dados):
    • x=r\cos\theta,
    • y=r\sin\theta,
    • r^{2}=x^{2}+y^{2}.
  • Observação importante sobre domínio: as funções \operatorname{sec}\theta e \tan\theta só estão definidas quando \cos\theta\neq0. Isso vai afetar quais ângulos \theta (e, portanto, quais pontos) fazem sentido na equação polar.

Passo 2

Uma identidade trigonométrica que vale (quando \cos\theta\neq0) é
1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta.
Explico rapidamente de onde vem: parte da identidade pitagórica \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1. Dividindo ambos os lados por \cos^{2}\theta (válido quando \cos\theta\neq0) obtemos
\tan^{2}\theta+1=\operatorname{sec}^{2}\theta.
Rearranjando, chega-se a
\operatorname{sec}^{2}\theta-\tan^{2}\theta=1.
Ou seja, a igualdade dada no enunciado é justamente essa identidade — ela é verdadeira para todo \theta tal que \cos\theta\neq0.

Passo 3

Agora vamos expressar \tan\theta e \operatorname{sec}\theta em termos de x,y,r (passo necessário para obter a forma cartesiana).
  • Para \tan\theta, quando x\neq0 temos \tan\theta=\dfrac{y}{x} (porque \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{y/r}{x/r}=\dfrac{y}{x}).
  • Para \operatorname{sec}\theta, usando \cos\theta=\dfrac{x}{r} (quando r\neq0) obtemos \operatorname{sec}\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}=\dfrac{r}{x} (novamente válido quando x\neq0).
Substituindo essas expressões na equação polar (assumindo x\neq0 para as substituições):
\operatorname{sec}^{2}\theta-\tan^{2}\theta=\left(\frac{r}{x}\right)^{2}-\left(\frac{y}{x}\right)^{2}=\frac{r^{2}-y^{2}}{x^{2}}.
Mas r^{2}=x^{2}+y^{2}, logo
r^{2}-y^{2}=x^{2},
e portanto
\frac{r^{2}-y^{2}}{x^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}}=1.
Ou seja, após substituir e simplificar obtemos a identidade 1=1. Isso mostra algebraicamente que, sempre que as substituições forem válidas (isto é, sempre que x\neq0), a equação polar é satisfeita para qualquer r — não impõe nenhuma outra restrição.

Passo 4

Interpretação geométrica e tratamento do caso x=0.
  • Para pontos com x\neq0 e qualquer y, existe (r,\theta) com \cos\theta\neq0 que representa o ponto, e a equação é satisfeita (já vimos que a substituição leva à identidade). Portanto todos os pontos com x\neq0 pertencem à curva.
  • Para pontos com x=0 e r>0 (ou seja, pontos da reta vertical x=0, exceto a origem), temos \cos\theta=0 nas coordenadas polares usuais, então \operatorname{sec}\theta e \tan\theta são indefinidos aí e a equação polar não faz sentido — esses pontos não estão incluídos no conjunto definido pela equação polar.
  • Resta a origem (0,0). O ponto origem tem coordenada polar r=0 e pode ser representado por qualquer \theta. Basta escolher um \theta com \cos\theta\neq0 (por exemplo \theta=0); para esse \theta a equação polar é válida. Pela convenção usual de curvas polares (incluir um ponto se existe alguma representação polar que satisfaz a equação), a origem é incluída no conjunto.

Passo 5

Conclusão final: a equação polar não impõe restrição além de exigir que \cos\theta\neq0; em coordenadas cartesianas isso corresponde a aceitar todos os pontos com x\neq0, e também a incluir a origem (0,0) pela possibilidade r=0,\theta=0.

Resposta

Equação cartesiana correspondente: reduz-se à identidade 1=1 quando x\neq0, ou seja não impõe outra equação em x,y além da condição de domínio x\neq0.
Conjunto de pontos: \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x\neq0\}\cup\{(0,0)\}.

Exercícios relacionados