Use as relações de mudança de coordenadas polares para coordenadas cartesianas para obter a equação cartesiana correspondente a cada equação polar dada. Identifique o conjunto de pontos do plano definido em cada caso.
;
Passo 1
Vamos entender claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Enunciado: a equação polar é
. - O que se pede: obter a equação cartesiana correspondente e identificar o conjunto de pontos do plano determinado por essa equação.
- Relações de mudança de coordenadas que vamos usar (pegue estas como dados):
-
, -
, -
.
-
- Observação importante sobre domínio: as funções
e só estão definidas quando . Isso vai afetar quais ângulos (e, portanto, quais pontos) fazem sentido na equação polar.
Passo 2
Uma identidade trigonométrica que vale (quando
) é
Explico rapidamente de onde vem: parte da identidade pitagórica
. Dividindo ambos os lados por
(válido quando
) obtemos
Rearranjando, chega-se a
Ou seja, a igualdade dada no enunciado é justamente essa identidade — ela é verdadeira para todo
tal que
.
Passo 3
Agora vamos expressar
e
em termos de
(passo necessário para obter a forma cartesiana).
- Para
, quando temos (porque ). - Para
, usando (quando ) obtemos (novamente válido quando ).
Substituindo essas expressões na equação polar (assumindo
para as substituições):
Mas
, logo
e portanto
Ou seja, após substituir e simplificar obtemos a identidade
. Isso mostra algebraicamente que, sempre que as substituições forem válidas (isto é, sempre que
), a equação polar é satisfeita para qualquer
— não impõe nenhuma outra restrição.
Passo 4
Interpretação geométrica e tratamento do caso
.
- Para pontos com
e qualquer , existe com que representa o ponto, e a equação é satisfeita (já vimos que a substituição leva à identidade). Portanto todos os pontos com pertencem à curva. - Para pontos com
e (ou seja, pontos da reta vertical , exceto a origem), temos nas coordenadas polares usuais, então e são indefinidos aí e a equação polar não faz sentido — esses pontos não estão incluídos no conjunto definido pela equação polar. - Resta a origem
. O ponto origem tem coordenada polar e pode ser representado por qualquer . Basta escolher um com (por exemplo ); para esse a equação polar é válida. Pela convenção usual de curvas polares (incluir um ponto se existe alguma representação polar que satisfaz a equação), a origem é incluída no conjunto.
Passo 5
Conclusão final: a equação polar não impõe restrição além de exigir que
; em coordenadas cartesianas isso corresponde a aceitar todos os pontos com
, e também a incluir a origem
pela possibilidade
.
Resposta
Equação cartesiana correspondente: reduz-se à identidade
quando
, ou seja não impõe outra equação em
além da condição de domínio
.
Conjunto de pontos:
.