Sejam a e b números reais positivos com b>a>1. Mostre que
log (z-az-b)=sumn=1^infty b^n-a^nn z^n
para |z|>b.

Passo 1

Nesse exercício vamos provar a identidade envolvendo séries e logaritmo: temos dois reais positivos com b>a>1 e queremos mostrar que escrevemos o logaritmo como diferença de dois logs. Observando que logl(z-az-br)=log(z-a)-log(z-b) e, para zneq0, fatoramos log(z-a)=logl(z(1-a/z)r)=log z+log(1-a/z) e de modo análogo para log(z-b)$. Ao subtrair, os termos Ao subtrair, os termos se cancelam, sobrando
se cancelam, sobrando

Passo 2

Para |a/z|<1 e |b/z|<1, isto é |z|>b, usamos o desenvolvimento de Taylor da função logaritmo:
[
\log(1-x)=-\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n},

Passo 3

]
o que dá
log(1-a/z)=-sumn=1^infty (a/z)^nn, log(1-b/z)=-sumn=1^infty (b/z)^nn,

Passo 4

Subtraindo essas séries temos
log(1-a/z)-log(1-b/z)=sumn=1^infty (b/z)^n-(a/z)^nn=sumn=1^infty b^n-a^nn,z^n,, e assim obtemos a expressão desejada, válida para |z|>b garantindo a convergência absoluta das séries.

Resposta

logl((z-a)/(z-b)r)=sumn=1^inftyb^n-a^nn,z^n

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