Sejam
e
números reais positivos com
. Mostre que
para
.
Passo 1
Nesse exercício vamos provar a identidade envolvendo séries e logaritmo: temos dois reais positivos com
e queremos mostrar que escrevemos o logaritmo como diferença de dois logs. Observando que
e, para
, fatoramos
e de modo análogo para
$. Ao subtrair, os termos
se cancelam, sobrando
Passo 2
Para
e
, isto é
, usamos o desenvolvimento de Taylor da função logaritmo:
[
\log(1-x)=-\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n},
\log(1-x)=-\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n},
Passo 3
]
o que dá
Passo 4
Subtraindo essas séries temos