Verifique que
integral-infty^infty x^2 d x(x^2+16)^2=pi8

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral imprópria
integral-infty^infty x^2(x^2+16)^2,dx
Conteúdo: integração de função par e substituição trigonométrica.

Passo 2

Como a função f(x)=x^2/(x^2+16)^2 é par, podemos escrever
integral-infty^infty x^2(x^2+16)^2,dx = 2 integral0^infty x^2(x^2+16)^2,dx

Passo 3

Para a integral de 0 a infty, fazemos a substituição trigonométrica x = 4tantheta. Assim
dx = 4sec^2theta,dtheta,
x^2+16 = 16tan^2theta+16 = 16sec^2theta

Passo 4

Substituindo na integral de 0 a infty:
integral0^infty x^2(x^2+16)^2,dx = integral0^pi/2 (4tantheta)^2cdot 4sec^2theta(16sec^2theta)^2,dtheta
Simplificando:
= integral0^pi/2 16tan^2theta cdot 4sec^2theta256sec^4theta,dtheta = integral0^pi/2 64tan^2thetasec^2theta256sec^4theta,dtheta = 14integral0^pi/2 tan^2thetasec^2theta,dtheta

Passo 5

Reconhecendo que
tan^2thetasec^2theta = sec^2theta - 1sec^2theta = 1 - cos^2theta = sin^2theta,
tenhamos
integral0^infty x^2(x^2+16)^2,dx = 14integral0^pi/2 sin^2theta,dtheta

Passo 6

Para calcular integral0^pi/2 sin^2theta,dtheta, usamos a identidade de redução ou a fórmula direta:
integral0^pi/2 sin^2theta,dtheta = pi4
Logo
integral0^infty x^2(x^2+16)^2,dx = 14cdot pi4 = pi16

Passo 7

Voltando ao integral original de -infty a +infty, multiplicamos por 2:
integral-infty^infty x^2(x^2+16)^2,dx = 2 cdot pi16 = pi8

Resposta

pi8

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