Nos problemas 1-6, determine se a equação diferencial dada é separável:
(x y^2+3 y^2) d y-2 x d x=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial (x y^2+3 y^2),dy - 2x,dx = 0 é separável. O conteúdo aqui é separabilidade de equações de primeira ordem, e vamos precisar escrever a equação na forma dydx = f(x),g(y).

Passo 2

Primeiro, reorganizamos a equação para isolar dy e dx. Podemos escrever:
(x y^2+3 y^2),dy = 2x,dx
Em seguida, dividimos ambos os lados por x y^2+3 y^2=y^2(x+3), obtendo dydx:
dydx = 2xy^2(x+3)

Passo 3

Agora notamos que podemos fatorar como produto de função de x por função de y:
dydx = underbrace2xx+3f(x) ;underbrace1y^2g(y)
Como aparece na forma f(x),g(y), a equação é separável. Para confirmar, separamos variáveis:
y^2,dy = 2xx+3,dx

Resposta

Sim. A equação é separável, pois pode ser escrita como
y^2,dy = 2xx+3,dx

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