Sejam a, b números reais quaisquer, verifique que
Prove que sec ^2(x)=1+tan ^2(x), para todo x: cos (x) neq 0.

Passo 1

O exercício pede para provar a identidade trigonométrica sec^2(x)=1+tan^2(x) sempre que cos(x)neq0. Vamos usar a relação pitagórica sin^2(x)+cos^2(x)=1 e as definições de secante e tangente.

Passo 2

Pela trigonometria básica temos a identidade pitagórica
sin^2(x)+cos^2(x)=1
Como cos(x)neq0, podemos dividir cada termo dessa equação por cos^2(x) sem problema.

Passo 3

Dividindo por cos^2(x) obtemos
sin^2(x)cos^2(x)+cos^2(x)cos^2(x)=1cos^2(x)
Pelos conceitos de razão trigonométrica isso vira
tan^2(x)+1=sec^2(x)

Passo 4

Basta reorganizar a igualdade anterior para
sec^2(x)=1+tan^2(x),
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

sec^2(x)=1+tan^2(x)

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