Dados os números complexos
e
, determine a forma algébrica:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três números complexos escritos na forma trigonométrica:
- $ z_1 = 6\left(\cos(85^\circ) + i \sin(85^\circ)\right) $
- $ z_2 = 3\left(\cos(25^\circ) + i \sin(25^\circ)\right) $
- $ z_3 = 2\left(\cos(10^\circ) + i \sin(10^\circ)\right) $
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a forma algébrica da divisão $ \frac{z_1}{z_2} $. Para isso, vamos utilizar conceitos de números complexos, especialmente a forma trigonométrica e algébrica. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo na forma trigonométrica é dado por:
Onde:
- $ r $ é o módulo (ou tamanho) do número complexo.
- $ \theta $ é o argumento (ou ângulo) do número complexo.
A forma algébrica de um número complexo é:
Onde:
- $ a $ é a parte real.
- $ b $ é a parte imaginária.
Para dividir dois números complexos na forma trigonométrica, usamos a seguinte regra:
Então, precisamos aplicar essa fórmula para $ z_1 $ e $ z_2 $.
Passo 3
Vamos identificar os módulos e argumentos dos números complexos:
Para $ z_1 $:
- Módulo $ r_1 = 6 $
- Argumento $ \theta_1 = 85^\circ $
Para $ z_2 $:
- Módulo $ r_2 = 3 $
- Argumento $ \theta_2 = 25^\circ $
Agora, aplicando a fórmula da divisão:
Passo 4
Vamos simplificar os valores:
E a subtração dos ângulos:
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos converter essa expressão para a forma algébrica $ a + b i $.
Sabemos que:
Substituindo esses valores na expressão:
Passo 6
Vamos distribuir o 2 dentro dos parênteses:
Simplificando cada termo:
Resposta
A forma algébrica de $ \frac{z_1}{z_2} $ é: