Dados os números complexos z1=6(cos (85^circ)+i sen(85^circ)), z2=3(cos (25^circ)+i sen(25^circ)) e z3=2(cos (10^circ)+i sen(10^circ)), determine a forma algébrica:
z1z2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três números complexos escritos na forma trigonométrica:
  • $ z_1 = 6\left(\cos(85^\circ) + i \sin(85^\circ)\right) $
  • $ z_2 = 3\left(\cos(25^\circ) + i \sin(25^\circ)\right) $
  • $ z_3 = 2\left(\cos(10^\circ) + i \sin(10^\circ)\right) $
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a forma algébrica da divisão $ \frac{z_1}{z_2} $. Para isso, vamos utilizar conceitos de números complexos, especialmente a forma trigonométrica e algébrica. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo na forma trigonométrica é dado por:
z = r(cos(theta) + i sin(theta))
Onde:
  • $ r $ é o módulo (ou tamanho) do número complexo.
  • $ \theta $ é o argumento (ou ângulo) do número complexo.
A forma algébrica de um número complexo é:
r
Onde:
  • $ a $ é a parte real.
  • $ b $ é a parte imaginária.
Para dividir dois números complexos na forma trigonométrica, usamos a seguinte regra:
theta
Então, precisamos aplicar essa fórmula para $ z_1 $ e $ z_2 $.

Passo 3

Vamos identificar os módulos e argumentos dos números complexos:
Para $ z_1 $:
  • Módulo $ r_1 = 6 $
  • Argumento $ \theta_1 = 85^\circ $
Para $ z_2 $:
  • Módulo $ r_2 = 3 $
  • Argumento $ \theta_2 = 25^\circ $
Agora, aplicando a fórmula da divisão:
z1

Passo 4

Vamos simplificar os valores:
63 = 2
E a subtração dos ângulos:
85^circ - 25^circ = 60^circ
Então, temos:
z1z2 = 2 ( cos(60^circ) + i sin(60^circ) )

Passo 5

Agora, vamos converter essa expressão para a forma algébrica $ a + b i $.
Sabemos que:
a + b i
cos(60^circ) = 12
Substituindo esses valores na expressão:
sin(60^circ) = raiz32

Passo 6

Vamos distribuir o 2 dentro dos parênteses:
z1z2 = 2 cdot 12 + 2 cdot i raiz32
Simplificando cada termo:
z1z2 = 1 + i raiz3

Resposta

A forma algébrica de $ \frac{z_1}{z_2} $ é:
z1z2

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